Équation

Résumé

vignette|upright=1.2|14,x+15=71Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité. vignette|upright=1.2|Un système dynamique correspond à un type particulier d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est parfois complexe. Dans certains cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, appelée attracteur étrange. Une équation est, en mathématiques, une relation (en général une égalité) contenant une ou plusieurs variables. Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée inconnue et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée solutions. À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable. Les équations peuvent être de natures diverses, on les tr

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation

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Integrable Evolution Equations on Spaces of Tensor Densities and Their Peakon Solutions

Feride Tiglay

We study a family of equations defined on the space of tensor densities of weight lambda on the circle and introduce two integrable PDE. One of the equations turns out to be closely related to the inviscid Burgers equation while the other has not been identified in any form before. We present their Lax pair formulations and describe their bihamiltonian structures. We prove local wellposedness of the corresponding Cauchy problem and include results on blow-up as well as global existence of solutions. Moreover, we construct "peakon" and "multi-peakon" solutions for all lambda not equal 0, 1, and "shock-peakons" for lambda = 3. We argue that there is a natural geometric framework for these equations that includes other well-known integrable equations and which is based on V. Arnold's approach to Euler equations on Lie groups.

Springer Verlag2010

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Generalized Euler-Poincar, Equations on Lie Groups and Homogeneous Spaces, Orbit Invariants and Applications

Feride Tiglay

We develop the necessary tools, including a notion of logarithmic derivative for curves in homogeneous spaces, for deriving a general class of equations including Euler-Poincar, equations on Lie groups and homogeneous spaces. Orbit invariants play an important role in this context and we use these invariants to prove global existence and uniqueness results for a class of PDE. This class includes Euler-Poincar, equations that have not yet been considered in the literature as well as integrable equations like Camassa-Holm, Degasperis-Procesi, mu CH and mu DP equations, and the geodesic equations with respect to right-invariant Sobolev metrics on the group of diffeomorphisms of the circle.

Springer Netherlands2011

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Quasilinear second order elliptic systems and topological degree

Hicham Georges Gebran

We consider a large class of quasilinear second order elliptic systems of the form - ∑α,β=1N aαβ(x,u(x)),∇u(x))∂2αβu(x) + b(x,u(x),∇u(x)) = 0, where x varies in an unbounded domain Ω of the Euclidean space RN and u = (u1,...,um) is a vector of functions. These systems generate operators acting between the Sobolev spaces W2,p(Ω, Rm) and Lp(Ω, Rm) for p > N. We investigate then the Fredholm and properness properties of these operators and the connections between them. These functional properties play important roles in the existence theory of nonlinear differential equations, and they are related to two recent topological degrees. A first part of this work is an extension of recent results obtained by Rabier and Stuart who studied the scalar case (a single equation) on RN. Our results cover the case of several equations (coupled equations) defined on more general domains. We also study the question of exponential decay of solutions. The general results obtained in our framework are then applied to more specific and new situations: steady reaction-diffusion systems and nonlinear elasticity, where by means of the topological degree, we prove new existence and global continuation results.

EPFL2005

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