Mesure simplement additive

En théorie de la mesure, une mesure simplement additive est une version faible d'une mesure : au lieu d'être sigma-additive comme la mesure classique, elle est additive seulement pour l'union d'un nombre fini d'ensembles disjoints. Elle correspond davantage à l'idée intuitive que l'on se fait de la notion de mesure de distance parcourue, de mesure de surface, de mesure de volume ou de mesure de poids. En théorie de l'intégration, la notion de mesure simplement additive conduit à la notion d'intégrale de Riemann, alors que la notion de mesure sigma-additive conduit à la notion d'intégrale de Lebesgue. Si E est un ensemble et un clan de E, c'est-à-dire un ensemble non vide de parties de E stable par union finie et par différence, on appelle mesure simplement additive sur toute application f de dans telle que pour toutes parties A et B disjointes et appartenant à : Par exemple, dans , on peut définir une mesure simplement additive sur l'ensemble formé des unions finies d'intervalles bornés en posant : L(I) = b – a, où a et b sont les bornes inférieure et supérieure de I. Cette mesure est appelée longueur de l'intervalle I. On définit la longueur d'une union d'intervalles disjoints comme la somme des longueurs de chaque intervalle. On peut de même définir, dans un plan muni d'un repère orthonormé, une mesure de surface sur les unions finies de rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes, en posant Si U est un ensemble fini, une probabilité p sur U est une mesure simplement additive de l'ensemble des parties de U à valeurs dans [0,1] vérifiant p(U)=1 À partir de la mesure de surface sur les unions finies de rectangles, on peut définir la mesure de portions du plan dites quarrables Pour une partie donnée S du plan, on observe l'ensemble des unions finies de rectangles contenues dans S, C, et l'ensemble des unions finies de rectangles contenant S, C. Si , la portion de plan S est dite quarrable et son aire est égale à cette valeur commune. À partir de la mesure de longueur d'intervalle, on peut définir une mesure sur l'ensemble des fonctions en escalier (ou fonction étagée simple).