Statistiques directionnelles

Les statistiques directionnelles (qui incluent les statistiques circulaires et sphériques) sont une discipline des statistiques qui fournit des outils mathématiques pour traiter les observations angulaires, les directions (vecteurs unités dans Rn) ou les rotations de Rn. Plus généralement, les statistiques directionnelles traitent les observations dans des variétés riemanniennes compactes. Gaile et Burt ont posé les premières bases et outils de cette discipline en 1980. On constate que les outils statistiques usuels ne fonctionnent pas correctement sur des angles : par exemple, il serait absurde que la moyenne d'un angle de 2 degrés et d'un angle de 358 degrés soit un angle de 180 degrés, puisque 0 et 360 degrés correspondent au même angle. Cela illustre la nécessité d'outils statistiques spécifiques à l'étude de données cycliques, comme les angles, mais aussi les périodes répétées (jours de la semaines, mois de l'année, etc.). Le même problème se pose pour des données qui représenteraient des angles dièdres ou des rotations en géométrie 3D, par exemple dans l'étude de la structure des molécules. Une distribution circulaire représente une variable aléatoire prenant ses valeurs sur un cercle. On considère généralement son paramètre θ comme un angle compris entre 0 et 2π ou entre –π et . Toute fonction de densité de probabilité définie sur R peut être enroulée sur un cercle-unité : la fonction de densité de la variable angulaire est la somme de toutes valeurs f(x) où la valeur de x correspond à l'angle θ, soit : Ce concept peut être étendu à une variable à n composantes θ en sommant n fois sur chaque dimension. où les ek sont les vecteurs de la base canonique. Voici quelques distributions circulaires courantes. Dans cette distribution, chaque angle est équiprobable : la densité de probabilité de la distribution circulaire uniforme est avec . La densité de probabilité correspondant à une loi normale enroulée (notée WN pour wrapped normal distribution) selon le procédé décrit ci-dessus est : où μ et σ sont respectivement la moyenne et l'écart-type de la distribution normale sous-jacente.