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Concept
Théorème de la progression arithmétique
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, s'énonce de la façon suivante :
Ce théorème est une généralisation du théorème d'Euclide sur les nombres premiers. Sa première démonstration, due au mathématicien allemand Gustav Lejeune Dirichlet en 1838, fait appel aux résultats de l'arithmétique modulaire et à ceux de la théorie analytique des nombres. La première démonstration « élémentaire » est due à Atle Selberg en 1949.
Ce théorème généralise celui d'Euclide, d'après lequel il existe une infinité de nombres premiers et qui correspond donc au cas où la raison n de la progression arithmétique est égale à 1. Il indique que si l'on construit un tableau comme le suivant (qui correspond au cas n = 9 : c'est le nombre qui figure dans la première ligne et deuxième colonne), alors :
certaines lignes possèderont au plus un nombre premier (indiqué en rouge sur la figure) et il sera, s'il existe, toujours en première colonne. Cette configuration se présente ici pour les lignes commençant par 0, 3 et 6 ;
les autres contiendront toujours une infinité de nombres premiers. Ces lignes sont celles qui commencent par un entier compris entre 0 et n – 1 et premier avec n (ici : 1, 2, 4, 5, 7 ou 8) ; il y en a donc φ(n), où φ est l'indicatrice d'Euler.
On peut aller plus loin. La répartition statistique est presque la même dans chaque ligne. Et plus la ligne est longue, plus les répartitions statistiques se ressemblent, pour devenir exactement les mêmes. Vu sous cet angle, les nombres premiers sont remarquablement bien ordonnés. Ce résultat est démontré par le théorème de densité de Chebotarev, une généralisation du travail de Dirichlet. Dans l'exemple cité, les lignes commençant avec un entier premier avec 9 en contiennent entre 7 et 5, soit une variation inférieure à 40 %. En revanche, si le tableau est prolongé jusqu'à la valeur , alors le nombre de nombres premiers dans les lignes en contenant une infinité ne varie plus que de 26 à 29, soit une variation de moins de 10 %.
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