Espace d'Eilenberg-MacLane

En mathématiques, un espace d'Eilenberg-MacLane est un espace topologique ayant un seul groupe d'homotopie non trivial. Ce type d'espace joue un rôle de composant élémentaire en théorie de l'homotopie, puisqu'il jouit d'une forme d'unicité et intervient dans des procédés de reconstruction d'espaces plus complexes (il en est ainsi des tours de Postnikov). Les espaces d'Eilenberg-MacLane sont importants dans de nombreux contextes en topologie algébrique, permettant entre autres de calculer des groupes d'homotopie de sphères et de définir des . Ils portent le nom de Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane, qui les ont introduits à la fin des années 1940. Soient G un groupe et n un entier strictement positif. Un espace connexe X est appelé un espace d'Eilenberg-MacLane de type K(G, n) si son n groupe d'homotopie π(X) est isomorphe à G et si tous ses autres groupes d'homotopie sont triviaux. Si n > 1, G doit être abélien. Moyennant quoi, il existe toujours un CW-complexe de type K(G, n). Il est unique à homotopie faible d'équivalence près, c'est pourquoi tout espace de ce type est simplement noté K(G, n). Le cercle unité S est un K(Z, 1). Plus généralement, l'espace classifiant BG d'un groupe discret G est un K(G, 1). L'espace projectif complexe de dimension infinie P(C), classifiant du groupe compact S, est un K(Z, 2). Son est l'anneau de polynômes Z[x], gradué par x ∈ H. Comme cet espace a la propriété supplémentaire d'être une variété, le générateur x peut être représenté en cohomologie de De Rham (par la 2-forme de Fubini-Study). Une application de K(Z, 2) est décrite dans la version anglophone de l'article Abstract nonsense. L'espace projectif réel de dimension infinie P(R) est un K(Z, 1). Le (S) est un K(F, 1), où F désigne le groupe libre sur k générateurs. Plus généralement, si X et Y sont des CW-complexes de types respectifs K(G, 1) et K(H, 1), leur wedge X∨Y est un K(G∗H, 1). Asphéricité des nœuds : tout complément d'un nœud dans la 3-sphère S est un K(G, 1).