Epsilon de Hilbert

L'Epsilon de Hilbert est une extension d'un langage formel par l'opérateur epsilon, où celui-ci se substitue aux quantificateurs dans le langage en tant que méthode conduisant à une preuve de la cohérence pour l'extension du langage formel. L'opérateur epsilon et la méthode de substitution epsilon sont généralement appliqués à un calcul de prédicats, suivis par une démonstration de la cohérence. Le calcul des prédicats étendu par l'opérateur epsilon est ensuite étendu et généralisé pour couvrir les objets mathématiques, les classes et les catégories pour lesquelles on veut montrer la cohérence, en s'appuyant sur la cohérence déjà montrée à des niveaux antérieurs. Pour tout langage formel L, on prolonge L par adjonction de l'opérateur epsilon afin de redéfinir la quantification : L'interprétation voulue de εx A est que certaines valeurs de x satisfont à A, si elles existent. En d'autres termes, εx A renvoie un certain élément t tel que A(t) est vrai, sinon elle renvoie un terme arbitraire ou choisi par défaut. Si plus d'un terme vérifie A, alors n'importe lequel de ces termes (qui rend A vrai) peut être choisi, de manière non-déterministe. Il est nécessaire de définir l'égalité en vertu de L, et les seules règles nécessaires pour L prolongé par l'opérateur epsilon sont modus ponens et la substitution d' A(t) pour remplacer A(x) pour tout terme t. Dans la Théorie des Ensembles de N. Bourbaki, les quantificateurs sont définis comme suit : où A est une relation dans L, x est une variable ; et juxtapose un à gauche de A, remplace toutes les occurrences de x avec et les relie à . Soit Y un assemblage, (Y|x)A désigne le remplacement de toutes les variables x dans A avec Y. Cette notation est équivalente à la notation de Hilbert et est lue de la même manière. Elle est utilisée par Bourbaki pour définir le cardinal d'affectation puisqu'il n'utilise pas l'axiome de remplacement. Définir des quantificateurs de cette manière mène à un grand manque d'efficacité.