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Système formel

Un système formel est une modélisation mathématique d'un langage en général spécialisé. Les éléments linguistiques, mots, phrases, discours, etc., sont représentés par des objets finis (entiers, suites, arbres ou graphes finis...). Le propre d'un système formel est que la correction au sens grammatical de ses éléments est vérifiable algorithmiquement, c'est-à-dire que ceux-ci forment un ensemble récursif. Les systèmes formels s'opposent aux langues naturelles pour lesquels les algorithmes de traitement sont extrêmement complexes et surtout doivent évoluer dans le temps pour s'adapter aux transformations du langage. Les systèmes formels sont apparus en logique mathématique afin de représenter mathématiquement le langage et le raisonnement mathématique, mais peuvent se trouver également dans d'autres contextes : informatique, chimie... Le calcul des prédicats, système logique modélisant le langage mathématique. Le lambda-calcul, langage de programmation théorique utilisé pour étudier les liens entre logique et informatique ; plus généralement tout langage de programmation est par définition un système formel. La théorie des ensembles, système formel dont les axiomes définissent la notion d'ensemble. La nomenclature des molécules organiques est un système formel. Logique mathématique#Système logiqueLogique mathématique Les systèmes formels ont été conçus par les logiciens afin de poser et étudier mathématiquement certains problèmes liés au langage mathématique. De ce point de vue on peut les considérer comme des métathéories générales, des théories sur les théories (mathématiques). Les systèmes logiques visant à modéliser le langage mathématique résolvent trois problèmes : Comment formalise-t-on les énoncés mathématiques (théorèmes, lemmes, définitions, etc.

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Metamathematics
Metamathematics is the study of mathematics itself using mathematical methods. This study produces metatheories, which are mathematical theories about other mathematical theories. Emphasis on metamathematics (and perhaps the creation of the term itself) owes itself to David Hilbert's attempt to secure the foundations of mathematics in the early part of the 20th century. Metamathematics provides "a rigorous mathematical technique for investigating a great variety of foundation problems for mathematics and logic" (Kleene 1952, p.
Théorème
En mathématiques et en logique, un théorème (du grec théorêma, objet digne d'étude) est une assertion qui est démontrée, c'est-à-dire établie comme vraie à partir d'autres assertions déjà démontrées (théorèmes ou autres formes d'assertions) ou des assertions acceptées comme vraies, appelées axiomes. Un théorème se démontre dans un système déductif et est une conséquence logique d'un système d'axiomes. En ce sens, il se distingue d'une loi scientifique, obtenue par l'expérimentation.
Logique
La logique — du grec , qui est un terme dérivé de signifiant à la fois « raison », « langage » et « raisonnement » — est, dans une première approche, l'étude de l'inférence, c'est-à-dire des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte. Le terme aurait été utilisé pour la première fois par Xénocrate. La logique antique se décompose d'abord en dialectique et rhétorique. Elle est depuis l'Antiquité l'une des grandes disciplines de la philosophie, avec l'éthique (philosophie morale) et la physique (science de la nature).
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