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Concept
Classification des algèbres de Clifford
Résumé
En mathématiques, en particulier dans la théorie des formes quadratiques non dégénérées sur les espaces vectoriels réels et complexes, les algèbres de Clifford de dimension finie ont été complètement classées. Dans chaque cas, l'algèbre de Clifford est isomorphe à une algèbre de matrices sur R, C ou H (les quaternions), ou à une somme directe de deux de ces algèbres, mais pas de manière canonique.
Notation et conventions. Dans cet article, nous utiliserons la convention de signe (+) pour la multiplication de Clifford, c’est-à-dire
où Q est la forme quadratique sur l'espace vectoriel V. Nous désignerons par K(n) l'algèbre de matrices n×n à coefficients dans l'algèbre à division K. La somme directe des algèbres sera désignée par K(n) = K(n)⊕K(n).
Le cas complexe est particulièrement simple : chaque forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel complexe est équivalente à la forme diagonale standard
où n = dim V, donc, il existe essentiellement une seule algèbre de Clifford dans chaque dimension. Nous noterons l'algèbre de Clifford sur Cn avec la forme quadratique standard par Cln(C).
Il existe deux cas séparés à considérer, suivant que n est pair ou impair.
Lorsque n est pair, l'algèbre Cln(C) est centrale simple et donc, par le théorème d'Artin-Wedderburn est isomorphe à l'algèbre de matrice sur C.
Lorsque n est impair, le centre inclut non seulement les scalaires mais aussi les pseudoscalaires (éléments de degré n). Nous pouvons toujours trouver un pseudoscalaire normalisé ω tel que ω=1. Définissons les opérateurs
Ces deux opérateurs forment un ensemble complet d'éléments idempotents orthogonaux, et puisqu'ils sont centraux, ils donnent une décomposition de Cln(C) en une somme directe de deux algèbres
où .
Les algèbres Cln±(C) sont simplement les espaces propres positifs et négatifs de ω et les P± sont simplement les opérateurs de projection. Puisque ω est impair, ces algèbres sont mélangées par :
et par conséquent isomorphes (puisque est un automorphisme).
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