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Concept
Chemin auto-évitant
Résumé
droite|vignette|200x200px|Chemin auto-évitant dans un réseau carré, hamiltonien dans un carré de côté 14, donc de longueur 152-1.
vignette|Chemin auto-évitant dans un réseau carré aboutissant à un cul-de-sac.
vignette|Idem dans un réseau hexagonal.
En mathématiques, un chemin auto-évitant (CAE), ou marche auto-évitante, est un chemin dans un réseau ne passant jamais par le même sommet ; lorsqu'il est fermé, on parle de polygone auto-évitant (PAE). Pour le graphe infini associé au réseau, les notions de CAE et de PAE correspondent à celles de chaînes et de cycles.
Les CAE ont été introduits en 1948 par le chimiste Paul Flory (prix Nobel 1974) dans le but de modéliser le comportement des polymères plongés dans un solvant. Depuis cette introduction, des physico-chimistes ont proposé de nombreuses conjectures qui ont été confirmées par des simulations numériques, mais peu d'entre elles ont été démontrées mathématiquement.
Un CAE de longueur infinie a une structure fractale. On démontre qu'il a une dimension fractale égale à dans le cas plan, en dimension 3, et 2 en dimension . Cette dimension est la limite supérieure de la dimension critique au-dessus de laquelle le volume exclu est négligeable. Un CAE qui ne satisfait pas la condition de volume exclu a été récemment étudié pour modéliser explicitement la géométrie de surface résultant de l'expansion d'un CAE.
Les propriétés des CAE ne pouvant pas être obtenues analytiquement, on utilise des simulations numériques. L'algorithme du pivot, méthode classique concernant les simulations de chaîne de Markov, est utilisé pour la mesure uniforme des CAE de longueur n. Il consiste à prendre un CAE, à choisir au hasard un point sur ce chemin, puis à appliquer une opération de symétrie (rotation ou/et réflexion) sur la partie du chemin située après ce point pour créer un nouveau chemin et à continuer jusqu'à ce que le chemin obtenu soit auto-évitant.
Considérant ici des chemins dans des graphes sommets-transitifs, on définit la longueur d'un CAE comme le nombre de sommets rencontrés (départ excepté).
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