Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Opérateur trace
Résumé
Un opérateur trace est un opérateur mathématique mis en œuvre dans des études d'existence et d'unicité de solutions aux problèmes avec conditions aux limites. L'opérateur trace permet aussi au moyen d'une formulation dans un espace de Sobolev d'étendre au bord d'un domaine la notion de restriction d'une fonction.
Soit Ω un ouvert borné de l'espace euclidien R ∂Ω. Si u est une fonction C (ou simplement continue) sur l'adhérence de Ω, sa restriction est bien définie et continue sur ∂Ω. Si de plus u est la solution d'une équation aux dérivées partielles donnée, elle est en général une formulation faible, qui appartient donc à un certain espace de Sobolev. Les fonctions d'un tel espace ne sont généralement pas continues et sont définies seulement sur Ω (et même seulement à égalité près presque partout), donc leur restriction à ∂Ω n'a aucun sens. Il vient que la restriction simple d'une fonction ne peut pas être utilisée pour définir clairement une solution générale d'une équation aux dérivées partielles avec des conditions aux limites de Ω données.
On peut contourner cette difficulté en considérant que tout élément u d'un espace de Sobolev peut être mal défini en tant que fonction, mais peut toutefois être approché par une suite (u) de fonctions de classe C définies sur l'adhérence de Ω. Alors, la restriction u de u sur ∂Ω est définie comme la limite de la suite des restrictions u.
Afin de définir rigoureusement la notion de restriction d'une fonction dans un espace de Sobolev, soit un réel p ≥ 1. Considérons l'opérateur linéaire
défini sur l'ensemble des fonctions de classe C sur à valeurs dans , vérifiant
Le domaine de T est un sous-ensemble de l'espace de Sobolev W(Ω).
Il existe une constante C, dépendant uniquement de Ω et p, telle que
Alors, comme les fonctions C sur sont denses dans W(Ω), l'opérateur T admet un unique prolongement continu (donc, lui aussi, linéaire)
défini sur l'espace entier W(Ω). T est appelé opérateur trace. La restriction (ou trace) u d'une fonction u de W(Ω) est alors donnée par Tu.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.