Polytope abstrait

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie discrète, un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné dont l'ordre reflète les propriétés combinatoires d'un polytope (au sens traditionnel, généralisant les polygones et les polyèdres à un nombre de dimensions quelconque), mais pas les aspects géométriques usuels, tels que les angles ou les distances. On dit qu'un polytope (géométrique) est une réalisation dans un espace à n dimensions (le plus souvent euclidien) du polytope abstrait correspondant. La définition « abstraite » autorise des structures combinatoires non réalisables géométriquement (par exemple un polygone à deux côtés), ce qui fait apparaître de nouveaux objets sans contrepartie classique. Dans les années 1960, Branko Grünbaum lança un appel à la communauté des géomètres pour étudier des généralisations du concept de polytope régulier qu'il appelait des polystromata. Il commença à en développer la théorie, découvrant de nouveaux objets, dont le . Vers 1980, H.S.M. Coxeter découvrit un polytope analogue, le , puis redécouvrit indépendamment le 11-cell. Ces travaux préliminaires, ainsi que ceux de Jacques Tits, ayant fixé les bases, la théorie élémentaires de ces structures combinatoires, désormais connues sous le nom de polytopes abstraits, fut décrite par dans sa thèse de doctorat en 1980. et lui développèrent la théorie dans une série d'articles de recherche, réunis par la suite en livre ; leurs définitions sont désormais acceptées (y compris par Grünbaum) comme étant « correctes ». La recherche s'est depuis surtout consacrée à l'étude des polytopes réguliers, définis comme ceux dont le groupe d'automorphismes agit transitivement sur l'ensemble de ses . En géométrie euclidienne, les six quadrilatères ci-contre sont tous différents. Pourtant, ils ont une structure commune : la chaîne alternée de quatre sommets et de quatre côtés qui leur donne leur nom. On dit qu'ils sont isomorphes.