Polytope abstrait

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie discrète, un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné dont l'ordre reflète les propriétés combinatoires d'un polytope (au sens traditionnel, généralisant les polygones et les polyèdres à un nombre de dimensions quelconque), mais pas les aspects géométriques usuels, tels que les angles ou les distances. On dit qu'un polytope (géométrique) est une réalisation dans un espace à n dimensions (le plus souvent euclidien) du polytope abstrait correspondant. La définition « abstraite » autorise des structures combinatoires non réalisables géométriquement (par exemple un polygone à deux côtés), ce qui fait apparaître de nouveaux objets sans contrepartie classique. Dans les années 1960, Branko Grünbaum lança un appel à la communauté des géomètres pour étudier des généralisations du concept de polytope régulier qu'il appelait des polystromata. Il commença à en développer la théorie, découvrant de nouveaux objets, dont le . Vers 1980, H.S.M. Coxeter découvrit un polytope analogue, le , puis redécouvrit indépendamment le 11-cell. Ces travaux préliminaires, ainsi que ceux de Jacques Tits, ayant fixé les bases, la théorie élémentaires de ces structures combinatoires, désormais connues sous le nom de polytopes abstraits, fut décrite par dans sa thèse de doctorat en 1980. et lui développèrent la théorie dans une série d'articles de recherche, réunis par la suite en livre ; leurs définitions sont désormais acceptées (y compris par Grünbaum) comme étant « correctes ». La recherche s'est depuis surtout consacrée à l'étude des polytopes réguliers, définis comme ceux dont le groupe d'automorphismes agit transitivement sur l'ensemble de ses . En géométrie euclidienne, les six quadrilatères ci-contre sont tous différents. Pourtant, ils ont une structure commune : la chaîne alternée de quatre sommets et de quatre côtés qui leur donne leur nom. On dit qu'ils sont isomorphes.

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Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation. La notion de polyèdre uniforme est généralisée, pour un nombre de dimensions quelconque, par celle de . Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi réguliers ou semi-réguliers.

In mathematics, the 11-cell is a self-dual abstract regular 4-polytope (four-dimensional polytope). Its 11 cells are hemi-icosahedral. It has 11 vertices, 55 edges and 55 faces. It has Schläfli type {3,5,3}, with 3 hemi-icosahedra (Schläfli type {3,5}) around each edge. It has symmetry order 660, computed as the product of the number of cells (11) and the symmetry of each cell (60). The symmetry structure is the abstract group projective special linear group L2(11).

In mathematics, the 57-cell (pentacontakaiheptachoron) is a self-dual abstract regular 4-polytope (four-dimensional polytope). Its 57 cells are hemi-dodecahedra. It also has 57 vertices, 171 edges and 171 two-dimensional faces. The symmetry order is 3420, from the product of the number of cells (57) and the symmetry of each cell (60). The symmetry abstract structure is the projective special linear group, L2(19). It has Schläfli type {5,3,5} with 5 hemi-dodecahedral cells around each edge. It was discovered by .

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