Polyèdre uniforme

Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation. La notion de polyèdre uniforme est généralisée, pour un nombre de dimensions quelconque, par celle de . Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi réguliers ou semi-réguliers. Les faces n'ont pas besoin d'être convexes, si bien que beaucoup de polyèdres uniformes sont étoilés. En excluant les deux ensembles infinis des prismes et antiprismes uniformes (incluant les convexes et les étoilés), il existe 75 polyèdres uniformes (ou 76 si les arêtes sont autorisées à coïncider) : polyèdres uniformes convexes : les 5 solides de Platon (réguliers), les 13 solides d'Archimède (2 quasi réguliers et 11 semi-réguliers) ; polyèdres uniformes étoilés : les 4 réguliers : solides de Kepler-Poinsot, les 53 non réguliers : 14 à faces convexes et 39 à faces non convexes, 1 polyèdre avec les paires d'arêtes qui coïncident, trouvé par . Ils peuvent aussi être regroupés par groupe de symétrie, ce qui est fait ci-dessous. Les solides de Platon sont connus depuis l'Antiquité par les Grecs classiques et ont été étudiés par Platon, Théétète et Euclide. Johannes Kepler (1571-1630) fut le premier à publier la liste complète des solides d'Archimède après la perte du travail original d'Archimède. Kepler (1619) a découvert deux des solides de Kepler-Poinsot réguliers et Louis Poinsot (1809) a découvert les deux autres. Des 66 qui restaient, 37 furent découverts par Albert Badoureau (1881). (1878) en découvrit 2 de plus et Pitsch (1881) en découvrit 18 indépendamment, dont 15 nouveaux. Coxeter découvrit les 12 restants en collaboration avec (1930-1932) mais ne le publia pas. et H.C. Longuet-Higgins ont indépendamment découvert 11 d'entre eux. publièrent la liste des polyèdres uniformes.