La Quadrature de la parabole (Archimède)

thumb|Archimède inscrit un triangle particulier dans le segment de parabole. L'aire du segment de parabole est égale aux 4/3 de l'aire de ce triangle. La Quadrature de la parabole est un traité de géométrie écrit par Archimède au , sous la forme d'une lettre à son ami Dosithée (Dositheus). Cette œuvre énonce 24 propositions sur les paraboles et démontre que l'aire d'un segment de parabole (région délimitée par une parabole et une corde) est égale aux 4/3 de l'aire du triangle inscrit dont la médiane est parallèle à l'axe de la parabole. La Quadrature de la parabole est un des premiers textes présentant une quadrature effective d'une surface délimitée par une courbe. Cet écrit est également marquant par son mélange entre un raisonnement purement géométrique et un raisonnement faisant intervenir la notion de barycentre et la notion de pesée et c'est une des premières applications d'un raisonnement par exhaustion géométrique abouti. Après avoir mis à part l'entête de la lettre, les lecteurs du traité le décomposent en général en trois parties, une établissant des propriétés générales sur la parabole, la seconde proposant une démonstration mécanique et la troisième une démonstration géométrique classique. La lettre est adressée à Dosithée, mais le texte était destiné à Conon de Samos. Archimède y annonce qu'il est le premier à avoir découvert comment quarrer la parabole, précisant qu'il a eu l'intuition du résultat par des considérations mécaniques et qu'il en propose deux démonstrations. La première utilise de la mécanique abstraite. La deuxième utilise la géométrie et la méthode d'exhaustion d'Eudoxe. Ce sont des énoncés de propriétés concernant la parabole. Certaines sont seulement énoncées car considérées comme connues, les trois premières sont citées sans preuve d'une œuvre perdue d'Euclide traitant des coniques. D'autres sont entièrement démontrées comme la proposition V, clef du raisonnement par pesée, qui assure, dans la figure ci-contre, l'égalité des rapports MA/MB et SQ/SM.