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Concept
Métrique des mots
Résumé
Dans la théorie des groupes, une branche des mathématiques, une métrique des mots sur un groupe G est une distance sur G, liée au choix préalable d'une partie génératrice S de G : la distance entre deux éléments g, h de G mesure l'efficacité avec laquelle leur « différence » gh peut être exprimée comme un mot sur S. La métrique des mots sur G est très étroitement liée au graphe de Cayley de (G, S) : la distance d(g, h) est la longueur du plus court chemin dans le graphe de Cayley entre g et h.
Différents choix de parties génératrices donneront en général des métriques différentes. Bien que cela semble à première vue être une faiblesse dans le concept de la métrique des mots, cela peut être exploité afin de prouver des théorèmes sur les propriétés géométriques des groupes, comme cela se fait dans la théorie géométrique des groupes.
Le groupe des entiers est engendré par l'ensemble . L'entier peut être exprimé comme un mot de longueur 5 sur ces générateurs. Mais le mot qui exprime plus efficacement est un mot de longueur 3. La distance entre 0 et -3 dans la métrique des mots associée à cette partie génératrice est donc égale à 3. Plus généralement, la distance entre deux nombres entiers et dans cette métrique des mots est égale à , parce que le plus court mot représentant la différence est de longueur égale à .
Pour un exemple plus visuel, les éléments du groupe peuvent être vus comme des vecteurs dans le plan cartésien avec des coordonnées entières. Le groupe est engendré par les vecteurs unité usuels , et leurs opposés respectifs , . Le graphe de Cayley de peut être vu dans le plan comme une grille infinie de rues d'une ville, où chaque ligne verticale ou horizontale avec des coordonnées entières est une rue, et chaque point de
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