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Concept
Graphe de Cayley
Résumé
En mathématiques, un graphe de Cayley (du nom d'Arthur Cayley) est un graphe qui encode la structure d'un groupe. C'est un outil important pour l'étude de la combinatoire et de la géométrie des groupes.
Étant donné un groupe et une partie génératrice de ce groupe, le graphe de Cayley Cay(G,S) est construit comme suit :
À chaque élément de , on associe un sommet .
À chaque élément de , on associe une couleur .
Pour tout et , on trace une arête orientée de couleur du sommet vers le sommet .
On peut aussi associer à chaque générateur une direction plutôt qu'une couleur, mais il est alors parfois impossible de représenter le graphe dans le plan. Dans certains contextes, on utilise la multiplication à gauche plutôt qu'à droite (les arêtes vont alors de à ).
Comme l'ensemble générateur d'un groupe n'est pas unique, la structure des graphes de Cayley d'un groupe donné n'est pas unique.
Si l'ensemble générateur a éléments, chaque sommet a arêtes entrantes, et arêtes sortantes.
Les cycles du graphe correspondent aux relations vérifiées par les générateurs.
Si et sont tous les deux dans l'ensemble de générateurs, on remplace souvent chaque paire d'arêtes orientées correspondant à et par une seule arête non orientée.
Le graphe de Cayley du groupe libre à deux générateurs est représenté en haut à droite de la page. ( est l'élément neutre). Un pas vers la droite correspond à une multiplication par , vers la gauche par , vers le haut par et vers le bas. Comme il n'y a pas de relations dans le groupe libre (par définition), son graphe de Cayley est acyclique.
À droite se trouve un dessin du graphe de Cayley d'un groupe d'ordre 18 avec présentation . Il est engendré par trois éléments d'ordre 2, qui sont donc représentés par des arêtes non-orientées de trois couleurs différentes; chaque sommet est lié à une arête de chaque couleur. En suivant les arêtes on peut vérifier que les autres relations sont satisfaites.
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