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Concept
Moyenne d'ordre p
Résumé
En mathématiques, la moyenne d'ordre p d'une famille de réels positifs, éventuellement pondérés, est une généralisation des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. Elle est également dite moyenne de Hölder, à cause de son lien avec la norme d'ordre p, ou norme de Hölder.
Soit p un nombre réel non nul. On définit la moyenne d'ordre p des réels strictement positifs x, ... , x par :
Pour p = 0, on la pose comme étant la moyenne géométrique (ce qui correspond au cas limite de la moyenne d'ordre p lorsque p tend vers 0) :
Les exposants infinis positif et négatif correspondent respectivement au maximum et au minimum, dans les cas classique et pondéré (ce qui correspond également au cas limite des moyennes d'ordres approchant de l'infini) :
On peut également définir les moyennes pondérées d'ordre p pour une suite de poids positifs mi vérifiant par :
Le cas classique correspond à l'équirépartition des poids : .
On remarquera le lien avec la norme d'ordre p : .
Comme la plupart des moyennes, la moyenne d'ordre p est une fonction homogène de degré 1 en x, ... , x. Ainsi, si b est un réel strictement positif, la moyenne généralisée d'ordre p des nombres bx, ... , bx est égale à b multiplié par la moyenne généralisée des x, ... , x.
Comme les moyennes quasi-arithmétiques, le calcul de la moyenne peut être séparé en sous-blocs de même taille.
De plus
En général, on a
et il y a égalité si et seulement si x1 = x2 = ... = xn.
L'inégalité est vraie pour les valeurs réelles de p et q, ainsi que pour les infinis positif et négatif.
On en déduit que pour tout réel p,
ce qui peut être montré en utilisant l'inégalité de Jensen.
En particulier, pour p dans {−1, 0, 1}, l'inégalité des moyennes généralisées implique une inégalité sur les moyennes pythagoriciennes ainsi que l'inégalité arithmético-géométrique.
On travaillera ici sur les moyennes généralisées pondérées, et on supposera :
La preuve sur les moyennes généralisées s'obtiendra en prenant .
Source officielle
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Moyenne harmonique
La moyenne harmonique H de nombres réels strictement positifs a1, ..., a est définie par : C'est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des termes. La moyenne harmonique est donc utilisée lorsqu'on veut déterminer un rapport moyen, dans un domaine où il existe des liens de proportionnalité inverses. Dans certains cas, la moyenne harmonique donne la véritable notion de « moyenne ».
Moyenne
En mathématiques, la moyenne est un outil de calcul permettant de résumer une liste de valeurs numériques en un seul nombre réel, indépendamment de l’ordre dans lequel la liste est donnée. Par défaut, il s’agit de la moyenne arithmétique, qui se calcule comme la somme des termes de la liste, divisée par le nombre de termes. D’autres moyennes peuvent être plus adaptées selon les contextes. La moyenne est un des premiers indicateurs statistiques pour une série de nombres.
Average
In ordinary language, an average is a single number taken as representative of a list of numbers, usually the sum of the numbers divided by how many numbers are in the list (the arithmetic mean). For example, the average of the numbers 2, 3, 4, 7, and 9 (summing to 25) is 5. Depending on the context, an average might be another statistic such as the median, or mode. For example, the average personal income is often given as the median—the number below which are 50% of personal incomes and above which are 50% of personal incomes—because the mean would be higher by including personal incomes from a few billionaires.