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Concept
Moyenne d'ordre p
Résumé
En mathématiques, la moyenne d'ordre p d'une famille de réels positifs, éventuellement pondérés, est une généralisation des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. Elle est également dite moyenne de Hölder, à cause de son lien avec la norme d'ordre p, ou norme de Hölder.
Soit p un nombre réel non nul. On définit la moyenne d'ordre p des réels strictement positifs x, ... , x par :
Pour p = 0, on la pose comme étant la moyenne géométrique (ce qui correspond au cas limite de la moyenne d'ordre p lorsque p tend vers 0) :
Les exposants infinis positif et négatif correspondent respectivement au maximum et au minimum, dans les cas classique et pondéré (ce qui correspond également au cas limite des moyennes d'ordres approchant de l'infini) :
On peut également définir les moyennes pondérées d'ordre p pour une suite de poids positifs mi vérifiant par :
Le cas classique correspond à l'équirépartition des poids : .
On remarquera le lien avec la norme d'ordre p : .
Comme la plupart des moyennes, la moyenne d'ordre p est une fonction homogène de degré 1 en x, ... , x. Ainsi, si b est un réel strictement positif, la moyenne généralisée d'ordre p des nombres bx, ... , bx est égale à b multiplié par la moyenne généralisée des x, ... , x.
Comme les moyennes quasi-arithmétiques, le calcul de la moyenne peut être séparé en sous-blocs de même taille.
De plus
En général, on a
et il y a égalité si et seulement si x1 = x2 = ... = xn.
L'inégalité est vraie pour les valeurs réelles de p et q, ainsi que pour les infinis positif et négatif.
On en déduit que pour tout réel p,
ce qui peut être montré en utilisant l'inégalité de Jensen.
En particulier, pour p dans {−1, 0, 1}, l'inégalité des moyennes généralisées implique une inégalité sur les moyennes pythagoriciennes ainsi que l'inégalité arithmético-géométrique.
On travaillera ici sur les moyennes généralisées pondérées, et on supposera :
La preuve sur les moyennes généralisées s'obtiendra en prenant .
Source officielle
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