Problème ouvert

En mathématiques, un problème ouvert est une question qui n'a pas été résolue ou une conjecture qui n'a pas été prouvée. En didactique des mathématiques, un problème ouvert est une question posée à des élèves, à laquelle ils ne peuvent pas répondre rapidement par leurs connaissances. L'objectif est d'apprendre aux élèves à chercher et de les inciter à élaborer eux-mêmes (avec l'aide éventuelle d'un enseignant) les outils permettant de résoudre le problème. Un problème ouvert est censé être plus motivant pour beaucoup d'élèves, contrairement aux exercices d'entraînement, plus répétitifs. Il existe plusieurs modalités didactiques du problème ouvert, parmi lesquelles on peut citer :

le travail en groupe tel que décrit par les membres de l'IREM de Lyon ;
la narration de recherche et la résolution collaborative de problème ;
le « Débat Scientifique en classe » tel que décrit par le groupe de l'IREM de Grenoble initié par Marc Legrand ;
les ateliers MATh.en.JEANS ;
les situatio

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On the power of combinatorial and spectral invariants

We extend the traditional spectral invariants (spectrum and angles) by a stronger polynomial time computable graph invariant based on the angles between projections of standard basis vectors into the eigenspaces (in addition to the usual angles between standard basis vectors and eigenspaces). The exact power of the new invariant is still an open problem. We also define combinatorial invariants based on standard graph isomorphism heuristics and compare their strengths with the spectral invariants. In particular, we show that a simple edge coloring invariant is at least as powerful as all these spectral invariants. (C) 2009 Elsevier Inc. All rights reserved.

2010

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Hitting Simplices with Points in $R^3$

Abdul Basit

The so-called first selection lemma states the following: given any set P of n points in a"e (d) , there exists a point in a"e (d) contained in at least c (d) n (d+1)-O(n (d) ) simplices spanned by P, where the constant c (d) depends on d. We present improved bounds on the first selection lemma in a"e(3). In particular, we prove that c (3)a parts per thousand yen0.00227, improving the previous best result of c (3)a parts per thousand yen0.00162 by Wagner (On k-sets and applications. Ph.D. thesis, ETH Zurich, 2003). This makes progress, for the three-dimensional case, on the open problems of Bukh et al. (Stabbing simplices by points and flats. Discrete Comput. Geom., 2010) (where it is proven that c (3)a parts per thousand currency sign1/4(4)a parts per thousand 0.00390) and Boros and Furedi (The number of triangles covering the center of an n-set. Geom. Dedic. 17(1):69-77, 1984) (where the two-dimensional case was settled).

2010

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Normal generation of locally compact groups

Amichai Netanel Eisenmann, Nicolas Monod

It is a well-known open problem since the 1970s whether a finitely generated perfect group can be normally generated by a single element or not. We prove that the topological version of this problem has an affirmative answer as long as we exclude infinite discrete quotients (which is probably a necessary restriction).

Oxford Univ Press2013

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MATH-504: Integer optimisation

The course aims to introduce the basic concepts and results of integer optimization with special emphasis on algorithmic problems on lattices that have proved to be important in theoretical computer science and cryptography during the past 30 years.

CS-503: Visual intelligence : machines and minds

The course will discuss classic material as well as recent advances in computer vision and machine learning relevant to processing visual data with a primary focus on embodied intelligence and vision for active agents.

CS-550: Formal verification

We introduce formal verification as an approach for developing highly reliable systems. Formal verification finds proofs that computer systems work under all relevant scenarios. We will learn how to use formal verification tools and explain the theory and the practice behind them.