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Concept
Paradoxe de Skolem
Résumé
En logique mathématique et en philosophie analytique, le paradoxe de Skolem est une conséquence troublante du théorème de Löwenheim-Skolem en théorie des ensembles. Il affirme qu'une théorie des ensembles, comme ZFC, si elle a un modèle, a un modèle dénombrable, bien que l'on puisse par ailleurs définir une formule qui exprime l'existence d'ensembles non dénombrables. C'est un paradoxe au sens premier de ce terme : il va contre le sens commun, mais ce n'est pas une antinomie, une contradiction que l'on pourrait déduire dans la théorie.
Le théorème de Löwenheim-Skolem connait plusieurs variantes. Prenons la suivante : en calcul des prédicats égalitaire du premier ordre, construit sur une signature (symboles primitifs non logiques) au plus dénombrable, tout modèle infini contient un sous-modèle dénombrable élémentairement équivalent, c'est-à-dire qu'il satisfait exactement les mêmes énoncés. En particulier la théorie des ensembles ZFC, utilise comme seul symbole non logique celui de la relation d'appartenance. Donc, si ZFC est cohérente, elle a un modèle, nécessairement infini à cause des axiomes, et ce modèle possède une sous-structure dénombrable qui satisfait exactement les mêmes énoncés, en particulier les axiomes de ZFC. Les « points » de cette structure, qui sont des ensembles, sont, en tant qu'ensembles, inclus dans la classe de tous les ensembles, le support de la structure.
Or, l'un des premiers résultats de la théorie des ensembles est la démonstration de l'existence d'un ensemble non dénombrable. C'est une conséquence immédiate du théorème de Cantor. Comment un ensemble non dénombrable pourrait-il être inclus dans une sous-structure dénombrable ?
Comme souligné par Skolem, le problème réside dans la relativité de ce qu'on appelle ici dénombrable. En théorie des ensembles, un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec N, l'ensemble des entiers naturels. Mais nous avons utilisé cette notion en deux sens différents : les ensembles dénombrables au sens du modèle de ZFC, et les ensembles dénombrables au sens de la théorie intuitive dans laquelle nous avons énoncé le théorème de Löwenheim-Skolem.
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