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Concept
Corps à un élément
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, le corps à un élément est le nom donné de manière quelque peu fantaisiste à un objet qui se comporterait comme un corps fini à un seul élément, si un tel corps pouvait exister. Cet objet est noté F1, ou parfois Fun. L'idée est qu'il devrait être possible de construire des théories dans lesquelles les ensembles et les lois de composition (qui constituent les bases de l'algèbre générale) seraient remplacés par d'autres objets plus flexibles. Bien que ces théories n'admettent pas elles non plus de corps à un élément, elles contiennent un objet ayant certaines propriétés des corps et dont la caractéristique (en un sens généralisé) vaut 1.
L'idée d'étudier les mathématiques construites à partir de F1 fut proposée en 1956 par Jacques Tits, à partir d'analogies entre des symétries en géométrie projective et la combinatoire des complexes simpliciaux ; F1 a été par la suite relié à de nombreux domaines, en particulier à une éventuelle démonstration de l'hypothèse de Riemann. Cependant, bien que de nombreuses théories de F1 aient été proposées, il n'est pas clair que les F1 qu'elles définissent aient toutes les propriétés que les mathématiciens espèrent.
En 1957, Jacques Tits introduisit la théorie des immeubles, qui relie les groupes algébriques aux . Cette théorie définit une condition de non-trivialité : si l'immeuble est un complexe simplicial abstrait de dimension n, et si k < n, tout k-simplexe de l'immeuble doit être contenu dans au moins 3 n-simplexes. Les immeubles « dégénérés » ne vérifiant pas cette condition sont appelés des appartements. En géométrie projective classique, on a de même une condition de non-trivialité, exigeant qu'une droite contienne au moins trois points, et des géométries dégénérées (et sans intérêt) où toutes les droites ont deux points. Comme les appartements jouent un rôle constitutif essentiel dans la théorie des immeubles, Tits conjectura l'existence d'une sorte de géométrie projective où les cas dégénérés auraient la même importance que les cas classiques, et qui serait développée sur un « corps de caractéristique un ».
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