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Concept
Drapeau (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :
Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces E forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :
Si d = i pour tout i (donc entre autres si k = n), alors le drapeau est dit total ou complet.
À toute base (e, ..., e) de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total dont les termes sont constitués des espaces successivement engendrés :
Exemple : si E est l'espace R[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, X, ..., X) et sa dimension est n = m + 1.
L'espace E = {0} et les espaces E = R[X] successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.
Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs e tels que e appartient à E mais pas à E.
Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque E est stable par u :
Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace R[X] et le drapeau formé des espaces R[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'''), de translation (P donne P(X + 1)), de différence finie (P donne P(X + 1) - P)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.
Lorsque E est un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E'', d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.
Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.
Variété de drapeaux
Filtration
Théorème de Jordan-Hölder
Polynômes orthogonaux
Catégorie:Espace
Source officielle
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