Cône tangent

En analyse convexe, le cône tangent au sens de Bouligand, ou cône contingent, est une certaine approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est par exemple utilisée pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation de dimension finie. Dans tout cet article, désigne un espace vectoriel réel — topologique si nécessaire (si est de dimension finie, on le suppose muni de sa topologie usuelle) — une partie non vide de et un point de . On note : pour tout (lorsque , on utilise la notation simplifiée ). est donc un cône si . l'adhérence de ; son enveloppe affine, son intérieur relatif et sa frontière relative ; si est un sous-espace affine : sa direction. On note en outre : l' ; le noyau d'une application linéaire ; Le cône des directions admissibles, ou cône radial de en , noté , est défini par pour tout réel petit Ce cône est donc vide si , et égal à tout entier dès que est une partie absorbante de ce sous-espace. Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, la définition des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône des directions admissibles comme cône tangent à en . Par exemple, le cône des directions admissibles à un cercle de est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas, avec cette notion, celle des directions tangentes connue, aussi il en faut une nouvelle : Il résulte de cette définition que : est un cône fermé inclus dans l'adhérence de ; est égal à cette adhérence dès que (puisque ) ; est vide si (donc n'a d'intérêt que si ) ; est inchangé lorsqu'on remplace par ; commute aux réunions finies, c'est-à-dire : (pour toute partie de ) ; est donc une fonction croissante de , c'est-à-dire : , Lorsque est à bases dénombrables de voisinages, par exemple lorsque c'est un espace vectoriel normé, l'adhérence d'une partie de se réduit à sa fermeture séquentielle, et la définition du cône tangent se traduit alors par : Autrement dit, s'il existe une suite de vecteurs convergeant vers , telle que rencontre en des points de plus en plus proches de lorsque .