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Concept
Nombre de Delannoy
Résumé
En mathématiques, et notamment en combinatoire, les nombres de Delannoy dénombrent les chemins joignant deux points d'un réseau carré, en pas horizontaux, verticaux, et aussi diagonaux. Ils sont ainsi nommés en l'honneur de l'officier français, mathématicien amateur et aussi historien Henri Auguste Delannoy. Ce dernier a présenté ce problème comme recherche de dénombrement de chemins parcourus par la reine dans un échiquier.
Le nombre de Delannoy est le nombre de chemins de joignant le point au point en utilisant des pas élémentaires de direction nord (ajout de ), nord-est (ajout de ), et est (ajout de ).
Notons que , le coefficient binomial ne comptant que les chemins prenant des directions est et nord.
est aussi le nombre de chemins de joignant le point au point en utilisant des pas élémentaires de direction nord-est (ajout de ), sud-est (ajout de ), et des pas doubles de direction est (ajout de ).
vignette|188x188px|Les D(2)=13 points entiers dans le carré d'équation .|alt=
est le nombre de points du réseau situés à une distance d'au plus pas de l'origine, autrement dit, le nombre de points à coordonnées entières de l'hyperoctaèdre plein .
On a donc ici un exemple de généralisation en dimensions supérieures du concept de nombre figuré (tel qu'étudié notamment par Pythagore et Pascal), les nombres de Delannoy correspondant en l'occurrence à des "nombres hyperoctaédriques centrés".
Tout comme les nombres de Catalan, de Motzkin, de Fibonacci, etc.,
les nombres de Delannoy apparaissent dans de nombreux problèmes. On trouvera notamment dans l'article de Sulanke 29 définitions combinatoires différentes des nombres de Delannoy « centraux » .
Cette ubiquité s'explique en partie par des définitions récursives assez naturelles, et donc promptes à apparaître dans diverses situations.
Par la première définition, on obtient la définition récursive :
pour
et, pour :
ce qui permet d'obtenir la ligne de proche en proche, connaissant la ligne .
Source officielle
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