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Concept
Treillis de Young
Résumé
thumb|upright=1.5|Le diagramme de Hasse du treillis de Young.
En mathématiques, et notamment en combinatoire, le treillis de Young est l'ensemble partiellement ordonné composé de toutes les partitions d'entiers. Cet ensemble est un treillis. Il est nommé ainsi d'après Alfred Young qui, dans une série d'articles intitulés On quantitative substitutional analysis a développé la théorie des représentations du groupe symétrique. Dans la théorie de Young, les objets appelés maintenant diagrammes de Young ou diagrammes de Ferrers et l'ordre partiels définis sur eux jouent un rôle central. Le treillis de Young occupe une place éminente en combinatoire algébrique, et est l'exemple le plus simple d' au sens de . Il est aussi étroitement lié à la base canonique des algèbres de Lie affines.
Le treillis de Young est l'ensemble partiellement ordonné formé de toutes les partitions d'entiers, ordonnées par l'inclusion de leur diagramme de Young (ou diagramme de Ferrers).
L'application traditionnelle du treillis de Young est la description des représentations irréductibles du groupe symétrique pour tout et de leurs propriétés de branchement en caractéristique zéro. Les classes d'équivalences de représentations irréductibles peuvent être paramétrées par des partitions ou diagrammes de Young. La restriction de à est sans multiplicité, et la représentation de avec partition est contenue dans la représentation de avec partition si et seulement si couvre dans le treillis de Young. En itérant cette procédure, on arrive à la base semi-canonique de Young dans la représentation de avec partition qui est indexée par les tableaux de Young standard de forme .
Soit l'ensemble ordonné de toutes les partitions.
L'ensemble ordonné est un ensemble gradué : le plus petit élément est l'ensemble vide qui est l'unique partition du nombre zéro. Chaque partition a un rang. Les partitions de l'entier ont toutes rang . Ceci signifie que les rangs de deux partitions comparables sont ordonnés comme les partitions, et il existe au moins une partition intermédiaire pour tout rang intermédiaire.
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