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Concept
Nombre de Schröder
Résumé
En mathématiques, et notamment en combinatoire, un nombre de Schröder compte un certain type de chemins. Ce sont les chemins dans une grille de taille n × n reliant le point de coordonnées (0, 0) au point de coordonnées (n, n) en utilisant seulement des pas unités de direction nord, nord-est ou est, et qui ne dépassent pas la diagonale sud-ouest - nord-est. Un tel chemin est appelé un chemin de Schröder.
Les premiers nombres de Schröder sont :
1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, .... (C'est la ).
Ils sont nommés ainsi d'après le mathématicien allemand Ernst Schröder. Ils sont proches des nombres de Catalan, des nombres de Motzkin, des nombres de Schröder-Hipparque. Comme eux, ils possèdent de nombreuses interprétations combinatoires.
thumb|upright=2|Les six chemins de Schröder d'une grille 2 × 2.
thumb|upright=2|Les 6 chemins de Schröder de longueur 4 vus horizontalement : les pas horizontaux viennent par deux.
Les nombres de Schröder comptent le nombre de chemins de (0, 0) à (2n, 0), formés depas unitaires nord-est et sud-est (pas (1, 1) ou (1, –1)) ou de pas horizontaux doubles (pas (2, 0)), et qui de plus sont toujours au-dessus de l'axe des x. Ils ressemblent en cela aux chemins de Motzkin, sauf qu'ici, les pas horizontaux viennent par deux.
upright=2|thumb|Les 6 divisions en 3 rectangles par 2 coupures.
thumb|upright=2|Les 22 rectangulations en 4 rectangles par 3 coupures.
thumb|upright=2|Les 6 chemins de Motzkin colorés de longueur 2.
Le n-ème nombre de Schröder compte aussi le nombre de subdivisions d'un rectangle en n + 1 rectangles plus petits obtenu par n droites horizontales ou verticales, avec la restriction qu'il y a n points à l'intérieur du rectangle qui ne sont alignés ni horizontalement ni verticalement, et que toute droite coupante passe par un des points et ne divise qu'un seul rectangle en deux. Sur la figure ci-dessous figurent les 6 subdivisions rectangulaires (rectangulations) en 3 rectangles avec 2 droites coupantes.
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