Conjecture des quatre exponentielles

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres transcendants, la conjecture des quatre exponentielles est une conjecture qui, étant donné de bonnes conditions sur les exposants, garantirait la transcendance d'au moins une des quatre exponentielles. La conjecture, avec deux conjectures apparentées plus fortes, est au sommet d'une hiérarchie de conjectures et de théorèmes concernant la nature arithmétique d'un certain nombre de valeurs de la fonction exponentielle. Si x1, x2 et y1, y2 sont deux paires de nombres complexes, chaque paire étant linéairement indépendante sur les nombres rationnels, alors au moins un des quatre nombres suivants est transcendant : Une autre façon d'énoncer la conjecture en termes de logarithmes est la suivante. Pour 1 ≤ i, j ≤ 2 soit λij des nombres complexes tels que exp(λij) soient tous algébriques. Supposons que λ11 et λ12 sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, et que λ11 et λ21 sont également linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors Une formulation équivalente consiste à regarder M la matrice 2×2 où exp(λij) est algébrique pour 1 ≤ i, j ≤ 2. Supposons que les deux lignes de M soient linéairement indépendantes sur les nombres rationnels et que les deux colonnes de M soient linéairement indépendantes sur les nombres rationnels. Alors le rang de M est 2, i.e. M est inversible. Une matrice 2 × 2 ayant des lignes et des colonnes linéairement indépendantes signifie généralement qu'elle a un rang 2, mais par exemple a des lignes et des colonnes qui sont linéairement indépendantes sur les nombres rationnels, puisque π est irrationnel. Mais le rang de la matrice est 1. Donc, dans ce cas, la conjecture impliquerait qu'au moins l'un de e, eπ, ou eπ2 est transcendant (ce qui dans ce cas est déjà connu puisque e est transcendant). La conjecture a été considérée dès le début des années 1940 par Atle Selberg qui n'a jamais formellement énoncé la conjecture. Un cas particulier de la conjecture est mentionné dans un article de 1944 de Leonidas Alaoglu et Paul Erdős qui suggèrent qu'il avait été considéré par Carl Ludwig Siegel.