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Concept
Théorie des nombres transcendants
Résumé
En mathématiques, la théorie des nombres transcendants est une branche de la théorie des nombres qui étudie les nombres transcendants (nombres qui ne sont pas des solutions d'une équation polynomiale à coefficients entiers).
Un nombre complexe α est dit transcendant si pour tout polynôme non nul P à coefficients entiers, P(α) ≠ 0. Il en est alors de même pour tout polynôme non nul à coefficients rationnels.
Plus généralement, la théorie traite de l'indépendance algébrique des nombres. Un ensemble de nombres {α1, α2, ..., αn} est dit algébriquement libre sur un corps K s'il n'y a pas de polynôme P non nul en n indéterminées à coefficients dans K tel que P(α1, α2, ..., αn) = 0. Un nombre complexe α est donc transcendant si et seulement si le singleton {α} est algébriquement libre sur Q.
L'utilisation du terme transcendant pour désigner un objet qui n'est pas algébrique remonte au dix-septième siècle, lorsque Gottfried Leibniz a prouvé que la fonction sinus n'est pas une fonction algébrique. La question de savoir si certaines catégories de nombres pourraient être transcendantes remonte à 1748, lorsqu'Euler a conjecturé que si a et b sont rationnels alors le nombre logab est soit transcendant, soit rationnel.
La conjecture d'Euler n'a été prouvée qu'au , mais près de cent ans après sa conjecture, Joseph Liouville a réussi à prouver l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques, ce qui jusqu'alors n'était pas su avec certitude. Ses articles sur la question dans les années 1840 esquissaient des arguments utilisant des fractions continues pour construire des nombres transcendants. Plus tard, dans les années 1850, il a donné une condition nécessaire pour qu'un nombre soit algébrique, et donc une condition suffisante pour qu'un nombre soit transcendant. Ce critère de transcendance n'était pas assez fort pour être nécessaire, en effet, il ne parvint pas à trouver la transcendance du nombre e. Mais son travail a fourni une classe de nombres transcendants, maintenant connus sous le nom de nombres de Liouville.
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