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Concept
Théorie des nombres transcendants
Résumé
En mathématiques, la théorie des nombres transcendants est une branche de la théorie des nombres qui étudie les nombres transcendants (nombres qui ne sont pas des solutions d'une équation polynomiale à coefficients entiers).
Un nombre complexe α est dit transcendant si pour tout polynôme non nul P à coefficients entiers, P(α) ≠ 0. Il en est alors de même pour tout polynôme non nul à coefficients rationnels.
Plus généralement, la théorie traite de l'indépendance algébrique des nombres. Un ensemble de nombres {α1, α2, ..., αn} est dit algébriquement libre sur un corps K s'il n'y a pas de polynôme P non nul en n indéterminées à coefficients dans K tel que P(α1, α2, ..., αn) = 0. Un nombre complexe α est donc transcendant si et seulement si le singleton {α} est algébriquement libre sur Q.
L'utilisation du terme transcendant pour désigner un objet qui n'est pas algébrique remonte au dix-septième siècle, lorsque Gottfried Leibniz a prouvé que la fonction sinus n'est pas une fonction algébrique. La question de savoir si certaines catégories de nombres pourraient être transcendantes remonte à 1748, lorsqu'Euler a conjecturé que si a et b sont rationnels alors le nombre logab est soit transcendant, soit rationnel.
La conjecture d'Euler n'a été prouvée qu'au , mais près de cent ans après sa conjecture, Joseph Liouville a réussi à prouver l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques, ce qui jusqu'alors n'était pas su avec certitude. Ses articles sur la question dans les années 1840 esquissaient des arguments utilisant des fractions continues pour construire des nombres transcendants. Plus tard, dans les années 1850, il a donné une condition nécessaire pour qu'un nombre soit algébrique, et donc une condition suffisante pour qu'un nombre soit transcendant. Ce critère de transcendance n'était pas assez fort pour être nécessaire, en effet, il ne parvint pas à trouver la transcendance du nombre e. Mais son travail a fourni une classe de nombres transcendants, maintenant connus sous le nom de nombres de Liouville.
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Théorème de Baker
Le théorème de Baker résout la conjecture de Gelfond. Publié par Alan Baker en 1966 et 1967, c'est un résultat de transcendance sur les logarithmes de nombres algébriques, qui généralise à la fois le théorème d'Hermite-Lindemann (1882) et le théorème de Gelfond-Schneider (1934). Ce théorème a été adapté au cas des nombres p-adiques par Armand Brumer ; le théorème de Brumer permet de démontrer la conjecture de Leopoldt dans le cas d'un corps de nombres abélien, suivant un article d'Ax.
Constante de Champernowne
En mathématiques, la constante de Champernowne, noté est un nombre réel transcendant, nommé ainsi en l'honneur du mathématicien D. G. Champernowne qui l'a introduit en 1933. Il s'agit d'un nombre univers simple à construire, puisqu'il égrène, après la virgule, la suite croissante des entiers naturels : La suite des chiffres de son écriture est un mot infini qui est important en combinatoire des mots : il a la propriété que toute séquence finie de chiffres consécutifs apparaît une infinité de fois dans la suite, mais que la distance qui sépare deux occurrences d'une même séquence de chiffres n'est pas bornée.
Carl Siegel
Carl Ludwig Siegel (né le à Berlin et mort le à Göttingen) est un mathématicien allemand spécialiste de la théorie des nombres. Il est né à Berlin, où il s'est inscrit à l'université Humboldt en 1915 en tant qu'étudiant en mathématiques, astronomie et physique. Parmi ses professeurs, il y avait Max Planck et Ferdinand Georg Frobenius dont l'influence a poussé le jeune Siegel à abandonner l'astronomie et à se tourner plutôt vers la théorie des nombres.