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Concept
Onde de Stokes
Résumé
Les ondes de Stokes sont des ondes de gravité rencontrées sur la surface de la mer, des vagues. Elles ont des solutions des équations d'Euler pour un fluide incompressible irrotationnel à surface libre soumis à un champ de gravité qui ont été obtenues par George Gabriel Stokes par la théorie des perturbations en 1847 dans le cas d'un milieu de profondeur infinie.
Pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ, les équations d'incompressibilité et de quantité de mouvement s'écrivent
où ρ est la masse volumique, p la pression, g la gravité et z l'altitude.
Dans le cadre d'un problème bidimensionnel, on désigne par s(x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0.
L'équation ci-dessus s'écrit à la surface
où p0 est la pression atmosphérique.
Cette surface est décrite par l'équation cinématique
Par ailleurs la condition cinématique au fond z = - h(x) s'écrira
Dans le cas particulier d'un fond plat utilisé par la suite on a
On cherche une solution au système constitué par les équations [1], [2], [3], [4] sous forme d'ondes périodiques progressives
où θ est la phase de l'onde, k le nombre d'onde et c la vitesse de phase.
Pour s, on utilise un développement en série de Fourier autour de la solution de repos (s = 0)
où a est l'amplitude.
Il lui correspond le développement suivant pour ψ, suggéré par la solution du problème linéarisé
Pour ω, on choisit une forme paire de l'amplitude compatible avec la périodicité en s (ψ n'est pas nécessairement périodique)
La solution du système limité au second ordre conduit aux résultats suivants
relation de dispersion
coefficients du développement pour s
μ2 est le rapport des amplitudes des deux premières composantes de l'onde.
coefficients du développement pour ψ
Vitesse de phase
On a en particulier
en eau profonde (k h0 → ∞
L'approche est valide pour des hauteurs de vague de faible amplitude devant la longueur d'onde
où λ = 2π/k la longueur d'onde.
en eau peu profonde k h0 → 0
où U le nombre d'Ursell.
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