Cercles de Villarceau

thumb|Animation permettant de voir comment une section de tore donne les cercles de Villarceau En mathématiques, et plus précisément en géométrie, les cercles de Villarceau sont deux cercles obtenus en sectionnant un tore selon un plan diagonal bitangent qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome et mathématicien français Yvon Villarceau (1813–1883). thumb|Section du tore par un plan passant par son centre. La section est constituée de deux cercles pour trois valeurs de l'angle du plan avec celui du tore : lorsqu'il est confondu au plan du tore, lorsqu'il lui est perpendiculaire et lorsqu'il est bitangent. Dans ce cas, la section est constituée des deux cercles de Villarceau Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ; les deux autres sont les cercles de Villarceau. Dans un tore de centre O, d'axe Oz et de paramètres R et r, les plans bitangents au tore ont pour équation : où ε peut valoir +1 ou –1 et où θ est un réel quelconque. Un tel plan coupe le tore en deux cercles de rayon R et de centres de coordonnées et . Ces résultats s'obtiennent en travaillant d'abord pour des plans contenant l'axe des y dont les équations sont qui coupent le tore en des cercles de rayon R et de centres de coordonnées et , puis en utilisant les propriétés d'invariance par rotation du tore pour les autres cercles de Villarceau. Prenons un tore de paramètres R = 5 et r = 3 et d'axe Oz : En sectionnant par le plan d'équation z = 0, on obtient deux cercles concentriques, d'équations x2+y2 = 22 et x2+y2 = 82. En sectionnant par le plan d'équation x = 0, on obtient deux cercles côte à côte, d'équations (y−5)2+z2 = 32 et (y+5)2+z2 = 32. Deux cercles de Villarceau peuvent être obtenus en sectionnant par le plan d'équation 3x = 4z. Le premier est centré en (0, +3, 0), le second en (0, −3, 0) - les deux ont 5 pour rayon. On peut en donner les paramétrages suivants : Le plan est choisi pour être tangent au tore tout en passant par son centre.