Fonction Cauchy-continue
En mathématiques et plus précisément en topologie, la continuité de Cauchy, pour une application entre espaces métriques (ou entre espaces plus généraux, comme des espaces uniformes), est une propriété plus faible que la continuité uniforme, mais suffisante pour assurer l'existence d'un prolongement continu de cette application au complété de l'espace de départ, dès que l'espace d'arrivée est complet. Soient X et Y deux espaces métriques. Une application f de X dans Y est dite Cauchy-continue si pour toute suite de Cauchy (x) dans X, la suite (f(x)) dans Y est de Cauchy. Toute application uniformément continue est Cauchy-continue et toute application Cauchy-continue est continue, et ces deux implications sont strictes. Cependant, toute fonction continue sur un espace complet est Cauchy-continue. Toute application Cauchy-continue sur une partie A de X et à valeurs dans un espace complet s'étend continûment (de façon évidemment unique) à l'adhérence de A dans X, et ce prolongement est encore Cauchy-continu. D'après les propriétés ci-dessus, sur R (muni de la distance usuelle) qui est complet, les applications Cauchy-continues sont simplement les applications continues tandis que sur le sous-espace Q, seules les applications admettant un prolongement continu à R sont Cauchy-continues. Par exemple sur Q, la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels supérieurs à est continue mais pas Cauchy-continue, tandis que l'application qui à tout rationnel p/q (avec q > 0 et p entiers) associe la racine q-ième de la puissance p-ième d'un réel fixé a > 0 est Cauchy-continue, ce qui permet par prolongement de définir sur R la fonction exponentielle de base a. Toute application linéaire continue entre deux espaces vectoriels normés est uniformément continue (et même lipschitzienne) donc Cauchy-continue. Plus généralement, dans le même contexte, toute application multilinéaire continue est Cauchy-continue car lipschitzienne sur toute partie bornée (la preuve est analogue à celle de la continuité de loi externe de K×E dans E).