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Concept
Puissance du continu
Résumé
En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, on dit qu'un ensemble E a la puissance du continu (ou parfois le cardinal du continu) s'il est équipotent à l'ensemble R des nombres réels, c'est-à-dire s'il existe une bijection de E dans R.
Le cardinal de R est parfois noté , en référence au , nom donné à l'ensemble ordonné (R, ≤). Cet ordre (et a fortiori le cardinal de l'ensemble sous-jacent) est entièrement déterminé (à isomorphisme près) par quelques propriétés classiques.
Il est aussi couramment noté 2, parce que R est équipotent à l'ensemble P(N) des parties de l'ensemble N des entiers naturels, dont la cardinalité (le dénombrable) est notée א0, et que pour tout ensemble E, le cardinal de est , où désigne le cardinal de E.
On doit cette notion à Georg Cantor qui a montré, dans un article paru en 1874, que le continu n'était pas équipotent au dénombrable, et par là-même l'existence de plusieurs « infinis ».
Cantor a tenté vainement de démontrer que tout sous-ensemble des réels était soit dénombrable, soit de la puissance du continu. Cette hypothèse, dite hypothèse du continu, ne peut être ni confirmée ni infirmée dans la théorie des ensembles ZFC dont on pense que c'est une formalisation assez fidèle de la théorie de Cantor.
Il revient au même — en identifiant chaque partie de N à sa fonction caractéristique — d'affirmer que R est équipotent à l'ensemble {0, 1} des suites de zéros et de uns. L'idée principale pour le démontrer est de considérer une telle suite comme le développement 0,kk... en base n d'un réel compris entre 0 et 1.
En base n > 2, l'application qui à toute suite de zéros et de uns associe le réel qu'elle représente est une injection de {0, 1} dans [0, 1[ donc dans R, si bien que card(P(N)) ≤ card(R). Par ailleurs, l'application qui à tout réel x associe l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à x est également injective donc card(R) ≤ card(P(Q)) = card(P(N)). Le théorème de Cantor-Bernstein permet de conclure.
La base 2 nécessite une précaution, à cause des possibilités de « développement impropre » (par exemple : 0,0111.
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