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Concept
Attracteur de Rössler
Résumé
L'attracteur de Rössler est l'attracteur produit par un système dynamique constitué de trois équations différentielles ordinaires contenant un terme non linéaire introduit en 1976 par Otto E. Rössler. Pour certaines valeurs des paramètres, ces équations différentielles produisent un attracteur chaotique. C'est un exemple d'attracteur étrange (selon l'appellation de David Ruelle ) et qui présente des propriétés fractales.
Otto Rössler a initialement obtenu un système dynamique produisant un attracteur chaotique à partir d'une réaction chimique théorique. En cherchant à simplifier le système initial sur son ordinateur analogique, il a fini par obtenir un système mathématiquement plus simple, n'ayant plus aucun lien avec une possible réaction chimique, mais produisant un attracteur ayant la même topologie. À l'invitation d'Art Winfree, Rössler cherchait un équivalent chimique du système de Lorenz. L'historique de la découverte de cet attracteur a été établi. L'attracteur de Rössler est plus simple à analyser que l'attracteur de Lorenz (doté d'une symétrie de rotation) car il ne présente aucune symétrie.
Les équations du système de Rössler sont
où , et sont les variables, définissant l'espace des états (ou l'espace des phases) et , et sont les paramètres (maintenus constant lors d'une intégration). Rössler étudia l'attracteur pour a = 0,2, b = 0,2, et c = 5,7. Une étude complète de la nature (topologie) des solutions de ce système a été réalisée pour , et . Lorsque le paramètre est augmenté, la solution du système devient chaotique après une cascade de doublements de période, c'est-à-dire une succession d'orbites périodiques dont les périodes sont , , , , ..., . Une fois la période infinie atteinte (), l'attracteur devient chaotique. Si la valeur de est encore augmentée, l'attracteur chaotique se développe ; toutefois, pour certaines plages des valeurs de , l'attracteur peut redevenir périodique : c'est une fenêtre périodique.
vignette|Diagramme de bifurcation du système de Rössler calculé pour et .
Source officielle
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