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Concept
Notation en indice abstrait
Résumé
La notation en indice abstrait est un système de notation présentant des similarités avec la convention de sommation d'Einstein et destinée comme cette dernière à l'écriture du calcul tensoriel.
Cette notation, due au mathématicien Roger Penrose, a pour but l'écriture pratique d'équations dans lesquelles interviennent des tenseurs ou des champs tensoriels. Il s'agit à la fois :
de bénéficier de la simplicité d'écriture permise par la convention de sommation d'Einstein ;
de ne pas dépendre contrairement à la convention d'Einstein d'un choix de base particulier (et donc arbitraire).
Aussi la notation en indices abstraits ne raisonne-t-elle jamais sur les composantes des tenseurs.
Les indices abstraits peuvent se penser comme des éléments d'un alphabet fini que l'on va utiliser pour étiqueter des espaces vectoriel et des tenseurs.
À partir d'un espace vectoriel sur le corps commutatif (en général ou ) de dimension , on peut former des copies de étiquetées par un indice abstrait : , , , , etc. Les espaces duaux respectifs sont notés , , , , etc. Si on peut lui faire correspondre naturellement un élément de noté , un élément de noté , etc. De même si , on peut lui faire correspondre naturellement un élément de noté , un élément de noté , etc.
En généralisant si est un tenseur de l'espace formé par produit tensoriel , on peut en définir l'équivalent dans la copie . Cet équivalent est noté . Bien sûr il est possible de définir les tenseurs équivalents , , , etc.
Remarque : Pour des raisons qui vont être expliquées ci-après, on s'abstient d'utiliser plusieurs fois le même indice. Des expressions comme ou sont donc dépourvues de sens. À noter que par contre possède bien un sens, mais que celui-ci est différent de celui présenté dans le présent paragraphe.
Soit deux tenseurs et tels que pour tout vecteur de et tout vecteur de on a . Ces deux tenseurs ont un fonctionnement quasi identique. L'ordre des paramètres n'a finalement que très peu d'importance puisque les indices agissent comme des étiquettes garantissant que l'évaluation est faite correctement.
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