Ricci calculusIn mathematics, Ricci calculus constitutes the rules of index notation and manipulation for tensors and tensor fields on a differentiable manifold, with or without a metric tensor or connection. It is also the modern name for what used to be called the absolute differential calculus (the foundation of tensor calculus), developed by Gregorio Ricci-Curbastro in 1887–1896, and subsequently popularized in a paper written with his pupil Tullio Levi-Civita in 1900.
Penrose graphical notationIn mathematics and physics, Penrose graphical notation or tensor diagram notation is a (usually handwritten) visual depiction of multilinear functions or tensors proposed by Roger Penrose in 1971. A diagram in the notation consists of several shapes linked together by lines. The notation widely appears in modern quantum theory, particularly in matrix product states and quantum circuits. In particular, Categorical quantum mechanics which includes ZX-calculus is a fully comprehensive reformulation of quantum theory in terms of Penrose diagrams, and is now widely used in quantum industry.
Raising and lowering indicesIn mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions. Mathematically vectors are elements of a vector space over a field , and for use in physics is usually defined with or . Concretely, if the dimension of is finite, then, after making a choice of basis, we can view such vector spaces as or . The dual space is the space of linear functionals mapping .
Contraction tensorielleEn algèbre multilinéaire, la contraction est un procédé de calcul sur les tenseurs faisant intervenir la dualité. En coordonnées elle se représente de façon très simple en utilisant les notations d'Einstein et consiste à faire une somme sur un indice muet. Il est possible de contracter un tenseur unique de rang p en un tenseur de rang p-2, par exemple en calculant la trace d'une matrice. Il est possible également de contracter deux tenseurs, ce qui généralise la notion de produit matriciel.
Tenseur de RicciDans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale.
