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Concept
Tenseur de Ricci
Résumé
Dans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci.
Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes.
Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale. C'est aussi un objet fondamental en géométrie différentielle.
L'éponyme du tenseur de Ricci est le mathématicien italien Gregorio Ricci-Curbastro (-) qui l'a introduit dans des articles qu'il a coécrits avec son étudiant Tullio Levi-Civita (-). Le tenseur apparaît, pour la première fois, dans un article de Ricci-Curbastro paru en .
Le tenseur est aussi connu comme le tenseur de courbure de Ricci car sa trace est la courbure (scalaire) de Ricci.
Le tenseur de Ricci est défini comme une contraction du tenseur de courbure de Riemann :
Le tenseur de Ricci est un tenseur de rang 2.
Il est symétrique :
En relativité générale, le vide est une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annule :
Dans le vide et en l'absence de constante cosmologique, l'équation d'Einstein devient :
soit :
Un espace dont le tenseur de Ricci s'annule est parfois dit Ricci-plat.
Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann , qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.
Il peut s'exprimer notamment à partir des symboles de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.
D'un point de vue mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein.
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