Théorème du quart de Koebe

En analyse complexe, le théorème du quart de Koebe s'énonce comme suit :Théorème du quart de Koebe. L'image d'une fonction analytique injective du disque de l'unité sur un sous-ensemble du plan complexe contient le disque dont le centre est et dont le rayon est .Le théorème porte le nom de Paul Koebe, qui a conjecturé le résultat en 1907. Le théorème a été prouvé par Ludwig Bieberbach en 1916. L'exemple de la fonction de Koebe montre que la constante est optimale. Soit que que l'on suppose univalente dans . Alors En effet, si , le complément de l'image du disque est un domaine bornée . Son aire est donnée par Puisque l'aire est positive, le résultat s'ensuit en faisant tendre vers . La preuve ci-dessus montre que l'égalité est vraie si et seulement si le complément de l'image de a une aire nulle, c'est-à-dire de mesure nulle. Ce résultat a été prouvé en 1914 par le mathématicien suédois Thomas Hakon Grönwall. La fonction de Koebe est définie par L'application du théorème à cette fonction montre que la constante dans le théorème ne peut pas être augmentée, car le domaine image ne contient pas le point et ne peut donc contenir aucun disque centré sur avec un rayon supérieur à . La fonction de Koebe d'angle est avec un nombre complexe de module égal à . La fonction de Koebe et ses rotations sont schlicht : c'est-à-dire univalentes et satisfaisant et . Soit univalente dans . Alors en appliquant le théorème de l'aire de Grönwall à la fonction univalente impaire avec égalité si et seulement si est une fonction de Koebe d'angle donnée. Ce résultat a été prouvé par Ludwig Bieberbach en 1916 et a servi de base à sa célèbre conjecture selon laquelle , prouvé en 1985 par Louis de Branges. En composant par une application affine, on peut supposer de sorte que Si n'est pas dans , alors est univalente dans . et donc Le théorème de distorsion de Koebe donne une série de bornes pour une fonction univalente et sa dérivée. C'est une conséquence directe de l'inégalité de Bieberbach pour le second coefficient et du théorème du quart de Koebe.