Théorème de l'application conforme

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l'application conforme, dû à Bernhard Riemann, assure que toutes les parties ouvertes simplement connexes du plan complexe qui ne sont ni vides ni égales au plan tout entier sont conformes entre elles. Historique Le théorème fut énoncé (sous l'hypothèse plus forte d'une frontière formés d'arcs différentiables) par Bernhard Riemann dans sa thèse, en 1851. Cette version initiale fut décrite par Lars Ahlfors comme « formulée en définitive dans des termes qui défient toute tentative de démonstration rigoureuse, même à l'aide des méthodes modernes ». La démonstration de Riemann dépendait du principe de Dirichlet, qui était considéré comme vrai à cette époque. Cependant, Karl Weierstraß découvrit des exceptions à ce principe, et il fallut attendre les travaux de David Hilbert pour une démonstration de ce que, dans une large mesure, il s'appliquait aux situations étudiées par Riemann. Toutefois, le princi

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Théorème d'uniformisation de Riemann

En mathématiques, le théorème d'uniformisation de Riemann est un résultat de base dans la théorie des surfaces de Riemann, c'est-à-dire des variétés complexes de dimension 1. Il assure que toute surf

Surface de Riemann

En géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Cette notion a été introduite par Bernhard Riemann pour prendre en compte

Analyse complexe

L'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou

Sur la méthode de Buser-Silhol pour l'uniformisation des surfaces de Riemann hyperelliptiques

Grégoire Aubry

The Uniformization Theorem due to Koebe and Poincaré implies that every compact Riemann surface of genus greater or equal to 2 can be endowed with a metric of constant curvature – 1. On the other hand, a compact Riemann surface is a complex algebraic curve and is therefore described by a polynomial equation with complex coefficients. The uniformization problem is then to link explicitly these two descriptions. In [BS05b], Peter Buser and Robert Silhol develop a new uniformization method for compact Riemann surfaces of genus two. Given such a surface S, the method describes a polynomial equation of an algebraic curve conformally equivalent to S. However, in this method appear a complex number τ BS and a function f BS which is holomorphic on the unit disk, both being characterized by some functional equations. This means that τ BS, f BS are given implicitly. P. Buser and R. Silhol then approximate them numerically by a complex number τ and a polynomial p using the approximation method developped in [BS05a]. In cases where the equation of the algebraic curve is known, they notice that these approximations are very good. In this thesis we prove a convergence theorem for the approximation method of P. Buser and R. Silhol, and we propose an adaptation of their method that allows to solve some of the numerical problems to which it is prone. Moreover, we generalize this uniformization method to hyperelliptic Riemann surfaces of genus greater than 2, and we give some examples of numerical uniformization in genus 3.

EPFL2010

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MATH-410: Riemann surfaces

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic curves.

MATH-325: Dynamics and bifurcation

Introduction to local and global behavior of nonlinear dynamical systems arising from maps and ordinary differential equations. Theoretical and computational aspects studied.

ME-445: Aerodynamics

This course will provide the fluid dynamic background to understand how air flows around two- and three-dimensional wings and bodies and to understand the aerodynamics forces and moments acting on the objects as a result of the air flow.