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Concept
Transformation en Z
Résumé
La transformation en Z est un outil mathématique de l'automatique et du traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformation de Laplace. Elle transforme un signal réel du domaine temporel en un signal représenté par une série complexe et appelé transformée en Z.
Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.
Sa définition mathématique est la suivante : la transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que :
La variable n représente en général le temps discrétisé, la variable complexe z n'est qu'un être mathématique. Lorsqu'on travaille sur s(n) on dit que l'on est dans le domaine temporel, lorsqu'on travaille sur S(z) le domaine est appelé fréquentiel par analogie avec la transformée de Fourier.
Si , on parle de signal causal.
Inversement, si , on parle de signal anti-causal.
Pour les signaux causaux, on peut aussi utiliser la transformée en Z monolatérale :
Le domaine de convergence est le sous-ensemble de dans lequel la série converge.
Autrement dit, le domaine de convergence de la transformée en de la suite est l'ensemble :
Le sous-ensemble de dans lequel cette série converge absolument est appelé la couronne de convergence. En posant , il vient :
avec
Le domaine de convergence absolue de est donc une couronne
où signifie à chaque fois ou et où l'inégalité (large ou stricte) (resp. ) est la condition nécessaire et suffisante pour que ait une limite finie lorsque (resp. ) tend vers . Explicitement,
Dans toute la suite de l'article, la couronne de convergence est supposée non vide et les transformées en Z sont valides pour seulement.
On montre les propriétés énoncées ci-dessous :
Linéarité
La transformée en Z d'une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal.
Source officielle
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