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Concept
Réponse impulsionnelle
Résumé
vignette|300px|right|Réponses impulsionnelles d'un système audio simple (de haut en bas) : impulsion originale à l'entrée, réponse après amplification des hautes fréquences et réponse après amplification des basses fréquences.
En traitement du signal, la réponse impulsionnelle d'un processus est le signal de sortie qui est obtenu lorsque l'entrée reçoit une impulsion, c'est-à-dire une variation soudaine et brève du signal. En effet, lorsqu'une impulsion est fournie à l'entrée d'un système linéaire, la sortie n'est en général plus une impulsion, mais un signal ayant une certaine durée (parfois infinie comme dans le cas d’un filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII)). La réponse impulsionnelle permet la représentation d'un système en fonction de son entrée et de sa sortie uniquement, par opposition à une représentation d'état.
Pour un système à temps continu, le modèle mathématique d’une impulsion est une distribution de Dirac.
Pour un système à temps discret (et non le système lui-même), une impulsion est définie par la suite :
Dans les deux cas, la réponse impulsionnelle est la sortie du système en réponse à cette impulsion.
Soit T la représentation mathématique d’un système à temps discret ; à une entrée u correspond une sortie y satisfaisant la relation :
T est ainsi une application de l’espace des suites dans lui-même.
Supposons de plus que T soit linéaire et invariant par translation temporelle. Dans ce cas, la réponse impulsionnelle
caractérise entièrement le système, la sortie y pouvant être calculée à partir de n’importe quelle entrée u en appliquant la relation suivante dans le cas discret :
Dans le cas continu, cette relation s’écrit, similairement :
Ces opérations correspondent à un produit de convolution entre l'entrée u et la réponse impulsionnelle h, que l'on note u ∗ h. On a donc la relation y = u ∗ h.
L'impulsion unité δ possède la propriété suivante : Cette propriété permet d'extraire la valeur du signal u en n = 0 en le multipliant simplement par .
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