Courbe brachistochrone

Le mot brachistochrone désigne une courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parle de problème de la courbe brachistochrone. vignette|right|upright=1.5|Comparaison des vitesses d'objets suivant différentes courbes. Le mot brachistochrone vient du grec brakhistos (« le plus court ») et s'écrit donc avec un i et non un y, et de chronos (« temps »). Elle fut étudiée et nommée ainsi par Jean Bernoulli. vignette|Maquette montrant la faculté brachistochrone de la cycloïde (Musée d'histoire des sciences de Florence). La résolution du problème de la courbe brachistochrone passionna les mathématiciens de la fin du . Il prend sa source dans une affirmation de Galilée en 1633, qui crut que la solution consistait en un arc de cercle. Cependant, Galilée ne disposait pas des méthodes du calcul différentiel qui permettaient d'apporter une solution. Jean Bernoulli pose clairement le problème en juin 1696 dans les Acta Eruditorum. Très rapidement, Leibniz propose une solution à Jean Bernoulli, mais sans qu'il reconnaisse la courbe en question. C'est Jean Bernoulli, qui dispose de deux solutions, qui reconnaît un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale. Tous deux décident de différer la publication de leurs solutions pour laisser à d'autres la possibilité d'aborder le problème. Celui-ci fut également résolu par Jacques Bernoulli, frère de Jean, et par Newton, L'Hôpital et Tschirnhaus. Les méthodes imaginées pour sa résolution amenèrent à développer la branche des mathématiques qu'on appelle le calcul des variations. Le chemin le plus court entre deux points est celui que suivrait un rayon de lumière. La courbe brachistochrone est donc simplement le trajet suivi par la lumière dans un milieu où la vitesse augmente selon une accélération constante (l’attraction terrestre g).