Sous-groupe de Hall

In mathematics, specifically group theory, a Hall subgroup of a finite group G is a subgroup whose order is coprime to its index. They were introduced by the group theorist . A Hall divisor (also called a unitary divisor) of an integer n is a divisor d of n such that d and n/d are coprime. The easiest way to find the Hall divisors is to write the prime power factorization of the number in question and take any subset of the factors. For example, to find the Hall divisors of 60, its prime power factorization is 22 × 3 × 5, so one takes any product of 3, 22 = 4, and 5. Thus, the Hall divisors of 60 are 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20, and 60. A Hall subgroup of G is a subgroup whose order is a Hall divisor of the order of G. In other words, it is a subgroup whose order is coprime to its index. If π is a set of primes, then a Hall π-subgroup is a subgroup whose order is a product of primes in π, and whose index is not divisible by any primes in π. Any Sylow subgroup of a group is a Hall subgroup. The alternating group A4 of order 12 is solvable but has no subgroups of order 6 even though 6 divides 12, showing that Hall's theorem (see below) cannot be extended to all divisors of the order of a solvable group. If G = A5, the only simple group of order 60, then 15 and 20 are Hall divisors of the order of G, but G has no subgroups of these orders. The simple group of order 168 has two different conjugacy classes of Hall subgroups of order 24 (though they are connected by an outer automorphism of G). The simple group of order 660 has two Hall subgroups of order 12 that are not even isomorphic (and so certainly not conjugate, even under an outer automorphism). The normalizer of a Sylow 2-subgroup of order 4 is isomorphic to the alternating group A4 of order 12, while the normalizer of a subgroup of order 2 or 3 is isomorphic to the dihedral group of order 12. proved that if G is a finite solvable group and π is any set of primes, then G has a Hall π-subgroup, and any two Hall π-subgroups are conjugate.

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Sous-groupe de Hall

En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall. Soit un groupe fini. Un sous-groupe de est appelé un sous-groupe de Hall de si son ordre est premier avec son indice dans . Autrement dit, un sous-groupe de est dit sous-groupe de Hall si est premier avec . Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de , la puissance à laquelle p figure dans est la même que celle à laquelle il figure dans .

Théorèmes de Sylow

En théorie des groupes finis, les théorèmes de Sylow forment une réciproque partielle du théorème de Lagrange, d'après lequel, si H est sous-groupe d'un groupe fini G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G. Ces théorèmes garantissent, pour certains diviseurs de l'ordre de G, l'existence de sous-groupes d'ordre égal à ces diviseurs, et donnent une information sur le nombre de ces sous-groupes. Ces théorèmes portent le nom du mathématicien norvégien Ludwig Sylow, qui les démontra en 1872.

Indice d'un sous-groupe

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, si H est un sous-groupe d'un groupe G, l'indice du sous-groupe H dans G est le nombre de copies distinctes de H que l'on obtient en multipliant à gauche par un élément de G, soit le nombre des xH quand x parcourt G (on peut choisir en fait indifféremment de multiplier à gauche ou à droite). Les classes xH formant une partition, et la multiplication à gauche dans un groupe par un élément donné étant bijective, le produit de l'indice du sous-groupe H dans G par l'ordre de H égale l'ordre de G, ce dont on déduit, pour un groupe fini, le théorème de Lagrange.

Groupes abeliens : Quatrième propriété

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Propriétés des sous-groupes Sylow

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