Nombre superabondant
En mathématiques, un nombre superabondant est un entier naturel n tel que, pour tout m < n, où σ est la fonction somme des diviseurs. Les premiers nombres superabondants sont 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120 (). Ce concept a été défini en 1944 par Leonidas Alaoglu et Paul Erdős. Ces derniers ne savaient pas qu'en 1915, une trentaine de pages de l'article de Ramanujan Highly composite numbers (« Nombres hautement composés ») avaient été supprimées. Ces écrits furent finalement publiés en 1997, dans The Ramanujan Journal 1, . Dans la section de cet article, Ramanujan définit les nombres hautement composés, parmi lesquels figurent les nombres superabondants. Alaoglu et Erdős, en 1944, ont prouvé que, si n est superabondant, alors il existe un i et des a, a, ..., a, tels que : où p est le k-ième nombre premier et Autrement dit, si n est superabondant, sa décomposition en facteurs premiers présente des exposants décroissants. De plus, a est toujours égal à 1, sauf pour n valant 4 ou 36. Les nombres superabondants sont intimement liés aux nombres hautement composés. Il serait erroné de penser que tous les nombres superabondants sont aussi des nombres hautement composés : seulement 449 nombres appartiennent simultanément aux deux catégories. Par exemple, est hautement composé, mais non superabondant. Néanmoins, Alaoglu et Erdős ont remarqué que tous les nombres superabondants sont aussi hautement abondants. De plus, tous les nombres superabondants ne sont pas des nombres Harshad. En effet, la seule exception est le superabondant : . La somme de ses chiffres, 81, n'est pas, en effet, un diviseur de ce nombre. Les nombres superabondants ont également un intérêt dans leur lien avec l'hypothèse de Riemann, via le théorème de Robin, selon lequel cette hypothèse équivaut à : le nombre superabondant étant la plus grande exception connue. Si cette inégalité a un contre-exemple plus grand, ce qui prouverait que l'hypothèse de Riemann est fausse, le plus petit des contre-exemples doit être un nombre superabondant. Superabondan