Nombre colossalement abondant

En mathématiques, un nombre colossalement abondant est un entier naturel qui, en un sens mathématique précis, possède un grand nombre de diviseurs. Plus formellement, un nombre n est dit colossalement abondant s'il existe un nombre ε > 0 tel que pour tout k > 1, où σ est la fonction somme des diviseurs. La suite des nombres colossalement abondants croît très rapidement. Les huit premiers sont 2, 6, 12, 60, 120, 360, , . Tous les nombres colossalement abondants sont superabondants, mais la réciproque est fausse. Les nombres colossalement abondants ont d'abord été étudiés par Ramanujan. Ses travaux étaient destinés à être inclus dans son article de 1915 traitant des nombres hautement composés. Malheureusement, l'éditeur du journal auquel Ramanujan avait soumis son travail, la revue de la London Mathematical Society, était en difficulté financière à cette époque, et Ramanujan accepta de laisser de côté une partie de son travail, dans l'idée de diminuer le coût d'impression. Ses recherches étaient en grande partie soumises à la véracité de l'hypothèse de Riemann, et l'acceptation de cette dernière comme vraie lui permit de trouver un encadrement de la taille des nombres colossalement abondants, et de prouver que ce qui est de nos jours appelé l'inégalité de Robin (voir ci-dessous) est vrai pour tout n suffisamment grand. Cette catégorie de nombres fut réexplorée en 1944, dans une forme plus forte, par Leonidas Alaoglu et Paul Erdős, qui tentèrent d'approfondir et de généraliser les résultats de Ramanujan. Les nombres colossalement abondants font partie des catégories de nombres basées sur un nombre de diviseurs considéré comme grand. Pour tout entier naturel strictement positif, la fonction somme des diviseurs σ(n) donne la somme de tous les diviseurs de n, y compris 1 et n. Paul Bachmann a montré qu'en moyenne, σ(n) vaut approximativement πn/6. Cependant, le théorème de Grönwall montre que σ(n) a une valeur légèrement plus élevée. En effet, d'après ce théorème, il existe une suite croissante d'entiers n pour lesquels σ(n) ~ eγnlog(log(n)), où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.