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Concept
Théorie k·p
Résumé
En physique du solide, la théorie k·p est basée sur la théorie de perturbation de la mécanique quantique et est une méthode empirique utilisée pour calculer la structure de bande et les propriétés optiques des solides cristallins.
Cette théorie a été appliquée notamment dans le contexte du modèle de Lüttinger-Kohn (d'après Joaquin Luttinger et Walter Kohn), et du modèle de Kane (d'après Evan Kane). Elle a également donné naissance au modèle de masse effective très fréquemment utilisé en physique du solide.
Selon la mécanique quantique (dans l'approximation des électrons indépendants), la fonction d'onde des électrons dans un matériau peut être décrite par l'équation de Schrödinger :
où p est l'opérateur de quantité de mouvement, V est le potentiel électrostatique, et m est la masse d'un électron (et où l'effet du couplage spin-orbite a été négligé).
Dans un cristal, V est une fonction périodique, qui a la périodicité du réseau cristallin. Le théorème de Bloch prouve que les solutions de cette équation différentielle peuvent être écrites sous la forme :
où k est le vecteur d'onde, n est l'indice discret de la bande, et un,k est une fonction qui a la même périodicité que le cristal, c'est-à-dire qui satisfait :
où R est un vecteur du réseau de Bravais.
Pour chaque bande (indice discret n), il y a une relation entre le vecteur d'onde k et l'énergie de l'état En,k, appelée relation de dispersion. Le calcul de cette relation de dispersion (ou structure de bande) est l'application principale de la théorie k·p.
La fonction périodique un,k satisfait l'équation de Schrödinger réécrite de la manière suivante
Ouvrage|langue=en|auteur1=P. Yu|auteur2=M. Cardona|titre=Fundamentals of Semiconductors|sous-titre=Physics and Materials Properties|éditeur=Springer|année=2005|numéro d'édition=3|passage=Section 2.6, pp. 68 ff'|isbn=3-540-25470-6|lire en ligne= :
où l'Hamiltonien est donné par :
Ici, k est un vecteur constitué de trois nombres réels dont l'unité est l'inverse d'une distance, alors que p est un vecteur d'opérateurs ; plus précisément,
On peut écrire cet hamiltonien comme une somme de deux termes :
Cette expression est à la base de la perturbation.
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