Loi de Rice

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice, nommée d'après (1907–1986), est une loi de probabilité à densité (c'est-à-dire continue). C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne. Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance σ. Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh : En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (ν cos θ, ν sin θ) (coordonnées polaires (ν , θ)), la densité de probabilité devient : où I(z) est la fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0. Les premiers moments (non centrés) sont : où, L(x) représente un polynôme de Laguerre et M désigne la fonction hypergéométrique confluente. Pour le cas ν = 1/2 : Généralement les moments sont donnés par où s = σ. Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν. La variable suit une loi de Rice à condition que et soient deux variables gaussiennes indépendantes. Pour obtenir une variable , on peut considérer une autre procédure : Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre Tirer X selon une loi du χ avec 2P + 2 degrés de liberté. Poser R = σ . Si alors R suit une loi du χ non centrée, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité ν. Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient : On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ. Stephen O. Rice, « Mathematical Analysis of Random Noise », dans Bell System Technical Journal, vol. 24, 1945, I. Soltani Bozchalooi et Ming Liang, « A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection », dans Journal of Sound and Vibration, vol. 308, -2, 2007, John G.