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Concept
Fonction caractéristique (probabilités)
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités et en statistique, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle est une quantité qui détermine de façon unique sa loi de probabilité. Si cette variable aléatoire a une densité, alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse de la densité. Les valeurs en zéro des dérivées successives de la fonction caractéristique permettent de calculer les moments de la variable aléatoire.
La fonction caractéristique est parfois appelée première fonction caractéristique alors que la seconde fonction caractéristique (ou encore deuxième fonction caractéristique) en est la transformée logarithmique.
Le théorème de Bochner et le théorème de Khintchine donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction soit la fonction caractéristique d’une variable aléatoire.
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle est la fonction à valeurs complexes définie sur par
Si cette variable aléatoire possède une densité, disons , alors
Ainsi, dans le cas d'une variable aléatoire à densité, la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur près dans l'exponentielle suivant la convention) de la densité. Probablement pour cette raison, il arrive que l'on choisisse une convention différente, à savoir . On notera que bien que l'usage dans la communauté des probabilistes soit de parler de transformée de Fourier, il s'agit en toute rigueur de la transformation de Fourier inverse.
Si cette variable est à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels alors
où GX désigne sa fonction génératrice des probabilités généralisée à un paramètre complexe.
Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire à valeurs dans est la fonction à valeurs complexes définie sur par
où est le produit scalaire de avec .
La fonction caractéristique d'une fonction de répartition est la fonction à valeurs complexes définie sur par
où l'intégrale est une intégrale de Stieltjes.
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