Espace d'interpolation

En analyse, un espace d'interpolation ou espace interpolé est un espace qui se trouve entre deux autres espaces. Les applications les plus importantes de cette notion ont lieu pour les espaces de Sobolev de fonctions qui sont dérivables un nombre non entier de fois. Ces espaces sont créés par interpolation à partir des espaces de Sobolev de fonctions dérivables un nombre entier de fois. La théorie de l'interpolation des espaces vectoriels a débuté par une observation faite par Józef Marcinkiewicz et qui fut généralisée ultérieurement et connue sous le nom de théorème de Riesz-Thorin. En termes simples, si une fonction linéaire est continue sur un certain espace L et aussi sur un autre espace L, alors elle est aussi continue sur l'espace L, pour tout r compris entre p et q. En d'autres termes, L est un espace intermédiaire entre L et L. Au cours du développement des espaces de Sobolev, il est devenu évident que les espaces des traces des fonctions des espaces de Sobolev n'étaient en aucune manière des espaces de Sobolev usuels (composés de fonctions différentiables un nombre entier de fois) et Jacques-Louis Lions a découvert que, de fait, ces espaces de traces étaient constitués de fonctions ayant un degré de différentiabilité non entier. De nombreuses méthodes ont été mises au point pour construire de tels espaces de fonctions : transformation de Fourier, interpolation complexe, interpolation réelle, dérivées fractionnaires. Dans cet article nous sommes intéressés par la situation suivante : X et Z sont des espaces de Banach et X est un sous-ensemble de Z, mais la norme de X n'est pas la même que celle de Z. X est dit plongé continument dans Z s'il existe une constante finie C telle que C'est le cas par exemple si X = H(R) et Z = L(R). Soient X et Y deux espaces de Banach qui sont deux sous-ensembles de Z. De plus on définit des normes sur X ∩ Y et X + Y par : Alors les inclusions suivantes sont toutes continues : À partir de maintenant, l'espace Z ne joue plus aucun rôle, il a juste servi pour donner un sens à X + Y.