Filtre (mathématiques)

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un filtre est une structure définie sur un ensemble, et permettant d'étendre la notion de limite aux situations les plus générales. La théorie des filtres a été inventée, en 1937, par Henri Cartan et utilisée par Bourbaki. Les filtres ont permis en particulier une démonstration élégante du théorème de Tychonov. Le cas particulier important des ultrafiltres joue un rôle fondamental dans la construction de prolongements d'objets classiques tels que les réels (donnant naissance aux hyperréels), ou les espaces localement compacts (permettant une construction du compactifié de Stone-Čech). En mathématiques, la notion de limite est au cœur de nombreux phénomènes et donne lieu à une théorie appelée topologie : (1) Si E et F sont des espaces topologiques, f une fonction de E dans F et a un point de E, on dit que « f(x) tend vers une limite l ∈ F lorsque x tend vers a » si pour tout voisinage V de l dans F, il existe un voisinage U de a dans E tel que f(U) ⊂ V. (2) Si A est une partie non vide de la droite réelle achevée et a ≠ –∞ est un point adhérent à A, on appelle limite à gauche de f au point a, relativement à A, une quantité l ∈ F telle que pour tout voisinage V de l dans F, il existe un voisinage U de a dans tel que f(U ∩ A ∩ ]–∞, a[) ⊂ V ; lorsque F est séparé, une telle quantité l est unique et notée . Lorsque a admet un système fondamental dénombrable de voisinages, par exemple lorsque E est un espace métrisable, l'utilisation de suites est commode pour étudier les limites : dans le cas (1) ci-dessus, pour que f(x) tende vers une limite l ∈ F lorsque x tend vers a, il faut et il suffit que pour toute suite (x) de E convergeant vers a, la suite (f(x)) converge vers l dans F ; dans le cas (2), pour que l ∈ F soit limite à gauche de F au point a, relativement à A, il faut et il suffit que pour toute suite (x) de A ∩ ]–∞, a[ convergeant vers a, la suite (f(x)) converge vers l dans F.

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