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Concept
Nombre de Bell
Résumé
En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.
Ces nombres forment la suite d'entiers de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :Le premier vaut 1 car il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet, ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.
Les partitions de sont , , et les trois partitions du type .
Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée « relation d'Aitken » et en fait due au mathématicien japonais du Yoshisuke Matsunaga:qui peut se démontrer ainsi :Ayant fixé un élément x dans un ensemble à n + 1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.
Les sept plus petits nombres de Bell premiers sont B = 2, B = 5, et B (cf. suites et de l'OEIS). On ignore s'il en existe d'autres.
Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :
La première est par exemple utilisée pour étudier les classes de congruence des . Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme
On en déduit qu'elle est égale à à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :
L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :
qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.
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