Théorèmes de Newton

Les sont deux relatifs au potentiel gravitationnel d'une distribution de masse à symétrie sphérique. Leur éponyme est Isaac Newton, qui les a tous deux démontrés. Après avoir découvert la loi universelle de gravitation entre deux points, Isaac Newton s'est penché sur le cas des corps sphériques. Il a apporté deux résultats connus sous le nom de premier et second théorème selon qu'on considère la force à l'intérieur ou à l'extérieur d'une sphère. Il est rapidement parvenu à démontrer le premier théorème. La démonstration du second théorème lui a échappé durant près de dix ans. Un corps qui se trouve à l'intérieur d'une couche sphérique de matière de densité uniforme ne ressent aucune force gravitationnelle nette de cette couche. Soit une sphère de matière de densité uniforme. Quelle est sa contribution gravitationnelle au point M de position r ? Soit le cône d'angle solide dΩ de sommet M ; l'axe du cône coupe la sphère en deux points P1 et P2 dont les distances à M sont r1 et r2. En ces points passent deux plans tangents à la sphère ; ils forment le même angle avec l'axe du cône (Θ1=Θ2). On peut s'en rendre compte par de simples considérations géométriques. Ainsi les masses δm1 et δm2 délimitées par dΩ à une distance r1 (resp. r2) du sommet M sont proportionnelles au carré de leur distance soit, d'où Donc la particule située en M est attirée par des forces de même intensité mais de directions opposées et la contribution des points P1 et P2 est nulle. La somme sur toute la sphère de ces forces donne donc une force globale nulle. Le potentiel à l'intérieur d'une sphère de matière uniforme est constant puisque la force gravitationnelle dérive du potentiel. La force gravitationnelle s'exerçant sur un corps ponctuel se trouvant à l'extérieur d'une couche sphérique fermée de matière est la même que ce qu'elle serait si toute la matière de la couche était rassemblée en son centre. Le mode de calcul précédent n'aboutit pas, mais avec une astuce, la démonstration devient simple.