Icosaèdre de Jessen

L'icosaèdre de Jessen (parfois appelé icosaèdre orthogonal de Jessen) est un polyèdre non convexe ayant le même nombre de sommets, d'arêtes et de faces que l'icosaèdre régulier, et dont les faces se coupent à angle droit ; il a été étudié par en 1967. On peut choisir un repère dans lequel les 12 sommets de l'icosaèdre de Jessen ont pour coordonnées les 3 permutations circulaires de . Dans cette représentation, les 24 arêtes courtes (correspondant aux angles diédraux convexes) sont de longueur , et les 6 autres arêtes sont de longueur . Huit faces sont des triangles équilatéraux (de côtés ), et les douze autres faces sont des triangles isocèles dont la base est une arête longue. Une forme combinatoirement semblable part d'un icosaèdre régulier et remplace certaines paires de faces adjacentes par des paires de triangles isocèles ; cette forme a parfois été appelée également (et incorrectement) « icosaèdre de Jessen ». Cependant, cette construction ne donne pas les angles droits souhaités, et il faut déplacer les sommets pour les obtenir. L'icosaèdre de Jessen est isogonal, c'est-à-dire qu'il existe des déplacements envoyant n'importe quel sommet sur n'importe quel autre. Ses angles dièdres sont tous droits ; on en déduit la construction d'une vaste famille de polyèdres ayant cette propriété en collant des copies de l'icosaédre par leurs faces équilatérales. Bien que ce ne soit pas un polyèdre flexible, l'icosaèdre de Jessen n'est pas non plus infinitésimalement rigide : de très petits changements dans la longueur des côtés peuvent amener à des changements importants des angles diédraux, donnant aux modèles physiques l'apparence d'être flexibles (on parle de « polyèdre tremblotant »). L'icosaèdre ne peut être triangulé en tétraèdres sans ajouter de nouveaux sommets (le polyèdre le plus simple ayant cette propriété est le ). Cependant, comme son invariant de Dehn est nul, il peut être découpé en pièces polygonales et réassemblé pour former un cube.

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Concepts associés (3)

Icosaèdre

En géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension 3, de la famille des polyèdres, contenant exactement vingt faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, signifie « vingt ». Il existe de nombreux polyèdres à vingt faces tels l'icosaèdre régulier convexe (appelé plus simplement icosaèdre si le contexte fait référence aux solides de Platon), l'icosaèdre rhombique, le pseudo-icosaèdre, le grand icosaèdre ou plusieurs solides de Johnson.

Regular icosahedron

In geometry, a regular icosahedron (ˌaɪkɒsəˈhiːdrən,-kə-,-koʊ- or aɪˌkɒsəˈhiːdrən) is a convex polyhedron with 20 faces, 30 edges and 12 vertices. It is one of the five Platonic solids, and the one with the most faces. It has five equilateral triangular faces meeting at each vertex. It is represented by its Schläfli symbol {3,5}, or sometimes by its vertex figure as 3.3.3.3.3 or 35. It is the dual of the regular dodecahedron, which is represented by {5,3}, having three pentagonal faces around each vertex.

Hexacosichore

En géométrie, l'hexacosichore ou « 600-cellules » est le 4-polytope régulier convexe qui a comme symbole de Schläfli {3, 3, 5}. Il est composé de 600 cellules tétraédriques dont 20 qui se rencontrent à chaque sommet. Ensemble, ils forment triangulaires, 720 arêtes et 120 sommets. Les arêtes forment 72 décagones réguliers plans. Chaque sommet du 600-cellules est le sommet de six de ces décagones.